Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 22

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 159 >> Следующая


3. Суммируем эти произведения по всем возможным разбиениям. Например, /„ содержит член (см. рис. 2)

&('„)?» (Л, t»)g,(tt, 14, tb). (2.5.2)

©

Рис. 2. Член (2.5.2) в кластерном разложении функции /6

Вскоре мы используем следующую экви валентную формулировку правила:

1'. Представим целое число п в виде суммы положительных целых чисел, не обязательно различных. Чтобы представить их в виде суммы разных чисел, выберем неотрицательные целые k такие, что

kj-l +k2-2 + k3-3+ . . . + kn-n = n.

(При этом условии все k, начиная с kn и далее, авмоматически равны нулю.) Такое представление числа п будем называть разбиением п.

2'. Образуем произведение кЛ множителей glt k2 множителей g2 и т. д.

3'. Строим все различные члены, соответствующие данному разбиению, получающиеся перестановкой переменных t. При этом члены не считаются разными, если они отличаются один от другого только порядком переменных в отдельных функциях g, или порядком MHO-

51 жителей g. Одному разбиению соответствует

п\

ki\ k2\. . .kn\ (1 !)*' (2! )*'... («!)*"

(2.5.3)

членов, построенных указанным способом.

4'. Суммируем все эти члены, а затем выполняем суммирование по всем возможным разбиениям числа N:

LVuti,...,^)= 2 2 gW...^"', (2.5.4)

разбиения перестановки

где введены сокращенные обозначения того, что имеется kt множителей g, с различными аргументами, k.2 множителей g2 и т. д. Теперь докажем фундаментальное тождество

00

!+Xljf v(ti)v(t.J...v(tn)fn(tu t2, ..., tn)dt у.. Atn =

п\

п= 1

: ехр

У»

X ^lv{t1)v(t2)...v(tm)gm(tu tt-----/JdZ1Clf2

т — 1

¦ dt.

(2.5.5)

Подставляем в первую строку fn в виде (2.5.1). Различные члены, полученные в соответствии с п. 3' правила и принадлежащие к одному разбиению, дают одинаковые вклады в интеграл. Тогда первая строка может быть записана в виде

1+Х X -L H f (0 gl (Od/}ft,x

п разбиения /J1!

y^\^^(t')v{t")gAt\f)dt'dt"Y!--- - (2.5.6)

Суммирование проводится по всем значениям п и для каждого отдельного значения п по всем его разбиениям. Но каждый набор целых чисел k является разбиением некоторого п. И наоборот, все разбиения всех чисел п получаются присвоением каждому k в выражении (2.5.6) неотрицательного целого значения. Единственным исключением является случай одновременного обращения в нуль всех чисел k. Следовательно, эту сумму можно записать в виде кратной суммы по всем значениям k, а один недостающий член дополняется дописыванием единицы перед всем выражением. Таким образом, для первой строки выражения (2.5.5) получаем

QO QO

X Jj {Jf (о gi (о At р ? J1 І ^ f „ (П v (п gAt',t")df dt- j \...

k\ — O ^2 — О

Это выражение идентично второй строке формулы (2.5.5), что и требовалось доказать. Первая строка выражения (2.5.5) является

52 производящим функционалом (2.3.7) функции /„. Следовательно, формула (2.5.5) может быть представлена в виде

X

IogMb])- L -^r § V Vi) V Vi). ¦ .vVm)gm(tlt t.2, ..., t JAt1Ati... Atm.

т — I

(2.5.7)

Из этой записи видно, что IogL является производящим функционалом функции gm, так же как кумулянты генерировались логарифмом производящей функции моментов. Естественно, с помощью (2.5.7) можно дать определение gm и затем доказать, что они удовлетворяют соотношениям (2.5.1).

Основной причиной введения корреляционных функций является их следующее свойство: если точки независимы, все gm при т > 1 равны нулю (это свойство может быть легко доказано). Если возникает физическая ситуация, в которой точки являются почти независимыми, то можно ожидать, что gm будут быстро убывать. Однако это указание скорее является физическим соображением, чем математической истиной.

Во многих случаях можно ожидать, что точки будут статистически зависимыми только в течение коротких отрезков времени. Формальное выражение этого «свойства кластеризации» можно записать в виде

ІІrngm + m-{h, t2, ¦ ¦ ., tm, tm+ ! + T, t,J1Jr2 + T, . . ., tm-m-t-T) = 0 (2.5.8}

(для всех т, т', tu . . ., tm+m>). То же самое свойство, выраженное в терминах /„, имеет вид

Iim (^1, t,, ..., tn, /„._! + т, tnT, + т, ..., tn-* + т) —

T-* 00

-/»Cl, и, ..., tn)fn.{tn+14-Х, tn,2 + T.....W + T)] = 0 (2.5.9)

(для всех п, п , tu . . ., tn+n-), иногда его называют свойством произведения.

Упражнение. Проверьте (2.5.5) для независимых точек. Упражнение. Покажите, что (2.5.1) и (2.5.4) эквивалентны. Упражнение. Используя результат (2,3.9), покажите, что характеристическая функция для N точек в интервале (ta, имеет вид

' Л (Pife-IV Г X v m, ' \ g»(tь t2, ..., t JAt1 At2...Atm. (2.5,10)

.m = 1 ' Ia

В частности, вероятность того, что в интервале не окажется точек, такова: » (ь

Z 8m{tu tm) ^1 At2... Atm. (2.5.11)

53

Се''*Л'>= ехр

Ро(*а> ^ь) = ехр

т = 1 ta 2.6. ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ

Предположим, что задано случайное множество точек, представляющее последовательность событий. Можно поставить следующий вопрос: если мы начинаем наблюдение в некоторый момент времени t0, как долго нам придется ждать, пока произойдет следующее событие? Естественно, время 0 от момента времени t„ до следующего события является случайной переменной, принимающей значения в интервале (0, оо), а ее плотность вероятности до(0; t„) является величиной, которой мы интересуемся (до параметрически зависит от t0, если множество событий не стационарно). Этот вопрос возникает, в частности, в задачах теории массового обслуживания. Функцию распределения до (8; попадания фотонов, излученных при люминесценции, измеряют также с помощью электронных приборов.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed