Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
S3U = <и>, gu = u — <u>.
(14.4.6)
dt9*u = + SiAgu,
(14.4.7a) (14.4.76
¦359 Решая уравнение (14.4.76), можно выразить Su через ,Уи:
t
Su (/) = е«-'») jcajsSu (Z0) + J е<'-''> -*-4-* SASiU (Z') dZ'.
U
Подстановка в (14.4.7а) дает интегральное уравнение для S3U:
t
dt<u(t)y = S3AS3 <и (Z)> + J .<уМ^є«-<'> jbajbSAP <и (f')> dZ' +
to
+ S3AS^t't")JeAje Sa. (14.4.8)
Опять-таки это уравнение является точным, но не отражает сути дела. Оно содержит начальное время Z0 и начальное значение а. Если выбрать а нестохастическим, последний член обращается в нуль, но тогда уравнение применимо только к S0. Считая, что а может быть случайной величиной, (14.4.8) можно делать применимым к любой частной функции U^S1, если для а взять правильное распределение и в момент Z0, однако это распределение нельзя определить не решив исходного уравнения (по крайней мере между Z1 и Z0). Действительно, (14.4.8)—это просто алгебраическое преобразование (14.2.1), поэтому оно содержит в точности ту же-самую информацию и решить его отнюдь не проще. Это не есть желаемое уравнение только для <и>, справедливое при всех начальных условиях. Однако работа, проделанная в § 14.3, дает основание сделать вывод, что если (XTf-C^l, то последний член в (14.4.8) практически равен нулю при t—Z0 > тс, так что остается интегральное уравнение, .содержащее только <и/. Но в соответствии с первым замечанием (см. выше) интегрирование по предшествующему времени является фиктивным и это уравнение можно заменить дифференциальным уравнением (14.2.11).
Упражнение. Предположим, что A=A0-A-OiAl. Тогда для любого стохастического вектора и имеют место соотношения:
S3AS3U ={Л0 + а<А»<к>,
S3AXu =Ot ({Л,-Czl1)) и>, XAS3U =а (^1-<^!>}<«>, XAXu = A0 {и — <иУ} + 0 (а).
С помощью этих тождеств покажите, что (11.4.8) совпадает с уравнением (14.4.2).
Упражнение. Те же самые приемы проектирования можно применить к несто-' хастическому уравнению и =Au, когда S3 — проекционный оператор в пространстве векторов и. (Этот прием часто используют для того, чтобы исключить некоторые нежелательные компоненты и, которые мы считаем не относящимися к сути дела, хотя их начальные значения не равны нулю, как в последнем члене (14.4.8).) Постройте таким образом уравнение для координат гармонического . осциллятора после исключения его импульса с помощью проецирования.
¦360 14.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрев в предыдущих двух параграфах линейные стохасти ческие дифференциальные уравнения, вернемся теперь к общему случаю (14.1.1). Его, так же как и обычные дифференциальные уравнения, можно преобразовать в линейное уравнение, если перейти к связанному с ним уравнению Лиувилля. Для того чтобы сделать это, мы временно возьмем одну реализацию у (і) процесса Y (t) и рассмотрим нестохастическое уравнение
нv = Fv(h, t y(t)). (14.5.1)
Оно описывает поток в «-пространстве, плотность которого изменяется в соответствии с уравнением
V
Это обычное гидродинамическое уравнение непрерывности р =— div pv, записанное для произвольного числа измерений. Хорошо знакомое уравнение Лиувилля в статистической механике является частным случаем, в котором поток является несжимаемым, т. е. дивергенция ^dFvJduv обращается в нуль и тогда множитель Fv в уравнении (14-5.2) можно записать перед d/duv. Однако Лиувилль не вводил такого ограничения в своей работе.
Если теперь предположить, что у (t) пробегает по всем реализациям процесса Y (і) с соответствующими вероятностями, уравнение QA.5.2) становится линейным стохастическим дифференциальным уравнением для р (и, t). Общий вид уравнения (14.5.2) совпадаете (14.2.11), если рассматривать р как аналог и в (14.2.1) и представить вектор и как аналог ненаписанной метки v в (14.2.1). Линейный опе-ратор ^idfdu9,) Fv . . . является аналогом матрицы А. Следовательно, для того чтобы получить приближенное уравнение для среднего 7P(и, t)y при заданном р(ы, 0), формально можно применить тот же самый метод. Предположим, что это сделано, тогда возникает вопрос: что нам скажет результат о решении исходного уравнения
(14.5.1)? Ответ на этот вопрос дает следующая лемма. Предположим, мы решили (14.5.1) с начальным условием uv (0)=av„
где а—заданный вектор. Пусть P (и, t) — получающееся в результате распределение вероятности и при t^ 0. С другой стороны, пусть.
(14.5.2) решено с начальным условием
р(и, 0) = 6(u—a) = ri6(«v — av).
V
Тогда имеем
'р(Ы, /)> = P(w, t). (14.5.3)'
Для того чтобы доказать эту лемму, заметим, что (14.5.1) для каждого у(t) определяет преобразование начального значения а
¦361 в значение и в момент времени t, которое мы обозначим а'. Если теперь допустимы все значения y(t), то, согласно (1.5.2), имеем
P (и, t) = <6(u— а')). (14.5.4)
С другой стороны, для каждого у [t) плотность потока в ^-пространстве удовлетворяет соотношению
р(a', Odaf = p (а, 0) da. (14.5.5)
Отсюда следует
Р(«, 0 O)^l^o(u-'-a)^^-. (14.5.6)
Здесь d(w"f)/'d(M) — якобиан преобразования. Согласно свойству преобразования дельта функций, (14.5.6) равно б (и—а*). Теперь возьмем среднее по всем y(t)\ в результате получится (14.5.3), что и требовалось доказать.
