Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
с таким же (о, как и в предыдущем упражнении. Упражнение. Вычислите (14.6.1), когда g (f)—процесс Орнштейна — Уленбека. Упражнение. Запишите обобщение формулы (14.6.1) для многокомпонентного
уравнения (14.2.1). Каковы условия его-справедливости? Упражнение. Сформулируйте аналогичный метод и условие его справедливости для нелинейных уравнений.
Третий класс уравнений, в котором можно исследовать влияние произвольных времен корреляции, представляет больший интерес. Этот класс состоит из уравнений (14.1.1), в которых Y (/) является марковским процессом. Пусть П {у, t\y0, Z0) — плотность вероятности перехода для этого марковского процесса, а основное кинетическое уравнение для него имеет вид
Ii = Wn (14.6.2)
Сделаем одно важное замечание: процесс, описывающийся совместными переменными (и, у), снова является марковским.
Пусть 3s (и, у, t) — плотность вероятности этого совместного процесса. За короткое время At она изменяется на.^«, у, t + At), причем это изменение связано с двумя отдельными причинами, которые в первом порядке по At являются аддитивными. Во-первых, и изменяется согласно (14.5.2) из-за того, что Si меняется согласно (14.1.1). Во-вторых, у может совершить скачок за время At, что приведет к изменению Si согласно (14,6.2). Тогда
= ZjL Fv{Ut t, у)Э^ W5\ (14.6.3)
V
Это основное кинетическое уравнение объединенного процесса*.
* Это уравнение под названием «стохастическое уравнение Лиувилля» было введено Кибо в работе: R. Kubo. J. Mathem. Phys. 4, 174 (1963), Прилагательное «стохастическое» в данном контексте используется в смысле «связанное со стохастическими уравнениями» в противоположность нашему пониманию этого слова как синонима «случайный», что отражено в названии этой главы.
¦367 Решение уравнения (14.6.3) с начальными значениями и0, Уо при to дает вероятность перехода 5і (и, t, у\и0, to, уо) объединенного марковского процесса. Если его проинтегрировать по у, то получим плотность вероятности для одного и при условии, что начальные значения и0, Уо в момент времени to заданы. В большинстве случаев представляет интерес не частное значение уо, а среднее по всем возможным Уо'.
P (и, t\u0, 0) = S dt/ S II1 (i/o, t„) dy0 Э3 (и, у, Zju0, t/o, 4), «
где II1 — распределение у в момент времени t, т. е, функция P1 (у, t)r если использовать стандартные обозначения § 3.4. Согласно этому уравнению нужно только решить (14.6.3) с начальным условием
P (", У, ' „)¦= S(U-U0) II1 (у0, t0).
Обычно Y (t) является стационарным процессом, так что II1 является №({/)•
К сожалению, уравнение (14.6.3) удается решить только в редких случаях. Но ситуация является более благоприятной, если Fv линейно но и и не зависит явно от времени, в этом случае уравнение (14.1.1) имеет вид
Uv = Jt Avil{Y{t)) Uil. (14.6.4)
Тогда (14.6.3) превращается в
д? у. о = _ ^ {у) _д__ ^p + • (14 6 5)
V, H
Теперь определим частное среднее:
mv{y, 0 = S uvP (и, у, Odu. (14.6.6)
Умножая (14.6.5) на Uv и выполняя интегрирование, получаем
дЛИМіЛ = ? Av, (t/) m, + Wmv. (14.6.7)
Эти связаннее уравнения нужно решить с начальными значениями
mv(y, 0) = U0vUlIy, 0). (14.6.8)
Эта задача проще, чем исходная (14.6.5), но ее решение, конечно, может дать только среднее:
<mv (0> = J mv (У> ^dу-
Пример. Кибо построил следующий пример, для того чтобы продемонстрировать сужения и расширения линии вследствие случайных
¦368 возмущений *. В уравнении (14.1.2) предположим, что со = w0 + а| (Z), где со0 и а — константы, a S(Z) — дихотомический марковский процесс (4.5.3). Поскольку ? может принимать только два значения, введем сокращенное обозначение
Ss (х, ±1, t) = P.L(x, t)
и запишем (14.6.6) как два связанных уравнения:
дР, д
Уравнение (14.6.7) для частных средних получают умножением любого из уравнений на х и последующем интегрированием:
т — (cj0-r a) mf —ут+ -f ут_, т_ — ( cog—а)т_—ym_-fymT. (14.6.9)
Начальное условие (14.6.8) сводится к т± (O) = V2a, а соответствующее решение для <и (Z)> — т у (?) + т_ (Z) имеет вид
<ы (Z)> -= ae~(i®»+v> * I cos (Z VJot2 — у2) +- JL_ sin (z Va2-f)\.
\ } a2—y2 I
(14.6.10)
Этот результат показывает, что средние значения медленных возмущений, т. е. таких, у которых yc^ot, ведут себя как суперпозиции двух гармонических осцилляторов с частотами, близкими к со0 + а, каждый из которых слегка затухает. В терминах Фурье-образов это равносильно двум отдельным «лоренцианам». Когда у возрастает, оба пика уширяются и сливаются в одну широкую линию. С другой стороны, для быстрых возмущений, когда у?ї>а, из (14.6.9) в первом порядке по у-1 получаем
<ы (Z)> = aexp
. , а2 ,
KO0Z--Z
V
Это выражение представляет собой единственный лоренцевский пик вблизи со0. Этот пример показывает, как более быстрые возмущения могут приводить к сужению линии**.
Упражнение. Выразите иерархию распределений Pn процесса и и через решение S3 (и, у, 11 U0, уп, ta) уравнения (14.6.3), доказав тем самым, что процесс полностью определяется (14.6.3).
