Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, сформулируем стратегию решения нелинейного стохастического дис{х})еренциального уравнения (14.5.1). Сначала приводим его к эквивалентному линейному виду (14.5.2). Затем применяем метод, сформулированный в предыдущих параграфах, для того чтобы найти приближенное дифференциальное уравнение для среднего <р(ы, 0> при условии, что число Кубо мало. В результате получается уравнение для распределения вероятности P [и, t) в виде
P (и, t) ^P (и, t) (14.5.7)
с оператором К, действующим на зависимость от и. Таким образом, в этом приближении P описывается основным кинетическим требованием, К получается как разложение в степенной ряд по числу Кубо, но члена порядка a2rt. обычно оказывается достаточно. То.т же самый метод можно применять, если F само оказалось линейным, как в (14.2.1), когда мы хотим узнать полное распределение вероятности и, а не его среднее значение.
Приложение. Рассмотрим следующую задачу, связанную с нагревом плазмы*.
Заряженная частица движется в одном измерении в электрическом поле E:
x = v, v — aЕ(х, t)\
Е(х, t) является случайным процессом, стационарным в пространстве и времени с нулевым средним временем автокорреляции Tt.. Плотность ансамбля таких частиц удовлетворяет уравнению (14.5.2):
др(х V, t) = _o adE(Xt t)p={Ao + aAl{t)]p.
* Р. А. Sturrock, Phys. Rev. 114, 186 (1966); D. Е. Hall and Р. А. Sturrock Phys. Fluids 10, 2620 (1967); M. В. Silevitch and К. I. Golden, J. Statist. Phys., 65 (1973).
¦362Для того чтобы применить (14.2.7), мы должны определить оператор етЛ°. Пусть f(x, V) — произвольная функция, тогда
етЛ«/(ЛГ, f)==exp — XV ~ / (X, V) =- f (X—XV, V).
Следовательно, величина е~тЛ°<«(/)>, встречающаяся в (14.2.7), превращается в Pix + xv, и). Нужно подействовать на нее оператором Ajt — x)-.
~~Ж*Е(Х> t — x)P{x + xv, v)=--- —Е(х, t — x){~+x—'j ix+xv, V). Затем етЛ<> сдвигает аргумент х обратно:
/AD Ар \
e^'Ajt — т)е~хА«Р(х, v)-r —E(x — xv,i — x)[ + v)•
После этого нужно подействовать оператором A1 еще раз, и тогда (14.2.7) в нашем случае приобретает окончательный вид
дР (X, V, t) дР , , д
-A7-= — V -5--и тХ
dt дх dv
xjj<E(x, t)E(x-xv, ,_*)>(.? + *?) dx, о
или
дР , дР 2 д . . дР . д , , dP
X
C0 (u) = $ <? t)E(x—xv, t — x)> dx, о
ас
Cl (U) X <? (х, t) E ix—XV, t — т)> dx. (14.5.8)
о
Неудивительно, что автокорреляционная функция включает в себя поле, возмущенное частицей, в то время как частица движется с невозмущенной скоростью V. Упражнение. Выведите (14.5.2) из (14.5.5).
Упражнение. Выведите из (14.5.8) уравнение для распределения скорости, которое соответствовало бы нагреву плазмы. Упражнение. Популяция растет со скоростью, описывающейся флуктуирующим коэффициентом
II {1 Ьа КО}«-
Примените тот же метод, для того чтобы получить распределение вероятности в момент времени t с точностью до второго порядка по ос. Сравните результат с точным решением.
Можно вывести общие формулы для более общих случаев, но они достаточно сложны*. Поэтому мы ограничиваемся случаями, в кото-
* N. Q. van Kampen. Physics Reports 24, С, 171 (1976). Приложение к броуновскому движению спинов рассматривается в работе: R. Kubo and N. Hashi-tsume, Suppl. Prog. Theor. Phys. 46, 210 (1970).
.36»рых не только атс мало, но и тс мало по сравнению с характерным временем невозмущенного движения. Точнее говоря, положим
F (и, t) == F0 (и) 4- CtF1 (и, t) со случайным F1 и по аналогии с (14.2.8) предположим, что
TcIF0(W)Kl. Тогда можно использовать (14.2.9) с (14.2.7).
Приложение. Частица движется в одном измерении под воздействием силы К (х), силы трения —?x и случайной силы ct?(Z):
x + ?x = /C(x) +«?(0
Если бы ? было белым шумом, то это была бы модель Крамерса (см. § 8.7). но мы только предполагаем, что ? имеет малое время корреляции тс.
Уравнение Лиувилля имеет вид
ф (у, t)==_ud2__d_{K(x)_fio + a? (m р = {4 аД i (0} р Теперь уравнение (14.2.9) принимает вид
дР (х, V, t) дР . дР , д д D . 2 f .Е+ д2Р
о
Таким образом, мы вывели уравнение Крамерса (8.7.4) как приближение для малого времени корреляции тс, которое становится точным в пределе (14.3.12). Из нашего вывода видно, что коэффициент при флуктуационном члене является интегралом от автокорреляционной функции случайной силы.
Упражнение. Покажите, что в этом случае поправка (14.2.12) имеет вид
2ft O2P_L 2 д2р — oli^c1 -^—т- +ct2cj s-t >
dv2 ' дх dv
L^=S <Є(0Є('-т)> TdT.
ледующег
коэффициентом
и — U — {1 +о| (0)
получите основное кинетическое уравнение для P (и, t) и покажите *, что
C1'
о
Упражнение. Для следующего уравнения Мальтуса — Верхюльста со случайным
Ps (и) — —-g- ехр
M-)]-
Получите тот же самый результат с помощью преобразования уравнения
* О. J. Heilman and N. G. van Kampen, Physico 93А, 476 (1978).
¦364Упражнение. Исследуйте таким же способом уравнение
ii={l + a6(0}tt-{l + ?4(0} "2
с двумя случайными членами, не обязательно некоррелированными. Упражнение. Рассмотрите однокомпонентное уравнение