Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
I1
[dt,« V (Z1) V (Z2)) -/C(Z1),
то уравнение принимает вид
t
<v(t)> ¦¦
ехр 5 {a <V (Z')) + агК (Z')} dZ'
о
а.
(14.3.6)
Это выражение является решением дифференциального уравнения dt <v (Z)) = {a <К (Z)) + a2/C (Z)} <v (Z)). (14.3.7)
Хотя (14.3.6) не является вполне правильным, мы сейчас докажем, что ошибка имеет более высокий порядок по ахс. Тогда мы можем предположить, что (14.3.7) справедливо в требуемом порядке. В первоначальном представлении это означает, что
dt <и (Z)) :
а-
Л, + а<Л,(0>-
J «Лх (Z) ет-4Ozl1 (Z — т)).> e-^'dt + О (а3т2)
(.и (Z)). (14.3.8)
Верхний предел интегрирования все еще напоминает о выделенной роли начального времени, но его можно заменить бесконечностью, поскольку Z >тс. Таким образом, мы подтвердили результаты (14.2.7) и (14.2.11).
Причина, по которой уравнение (4.3.6) не является вполне правильным, состоит в следующем. Символ временного упорядочения в (14.3.5) указывает на то, что после разложения экспоненты все множители V должны быть перегруппированы в хронологическом порядке. Однако временное упорядочение в (14.3.6) просто расставляет множители <V> и К, при этом к рассматривается как неделимая величина. (Иначе это выражение было бы не эквивалентно (14.3.7).) Это приводит к неправильному представлению тех членов в (14.3.5), в которых встречаются оба множителя <V(Z')> и «V (Z1) IZ(Z2))) и, кроме того, Z1 > Z' > Z2. Простейшим примером
¦352 такого члена в (14.3.5) является
» > *i
S dt' <V(t')> S dZ, S dZ2 «У (Z1) V (Z2)>> .0 0 0
tu ( t
= a3 S dZ1 S dZ2 { S dZ' <V(Z')> «V (^1) F (/,)> > +
о о V',
+ SdZ' «V(Z1)I/(Z2)»<V(Z')>+ JdZ' «V(Z1)<V(Z')>y(Z2),>}. (14.3.9) о t, J
(Естественно, множитель «V(Z')> не участвует в усреднении < <>>.) Но соответствующий чііен в (14.3.6) имеет вид
t tl /1
a3 S dZt J dt, { S dt' <V (t')> «V (Z1) V (Z2)>> + о 0 Ktl
+ Sd/'«V(Z1)V(Z2)»<1/(Z')>[. (14.3.10)
Разность между (14.3.9) и (14.3.10) составляет t t, t,
a* S dZ, SdZ2 J dZ' «V(Z1) [<V (Z')>, F(Z2)]», (14.3.11) о о <2
где символ [,] служит для обозначения коммутатора. Вся область интегрирования имеет порядок Z31 но ненулевой вклад дает только подобласть порядка Zt?. Следовательно, ошибка имеет порядок величины (aZ)(axc)2, т. е. она того же порядка, что и уже опущенные члены в (14.3.5). Такие же аргументы применимы и к другим членам в разложении (14.3.5): ошибка, сделанная при записи (14.3.6), всегда ограничена долей (тJt) полной области и, следовательно, на один порядок по параметру ахс выше, чем другие члены, содержащие ту же степень Z. Это доказывает, что (14.3.7) справедливо в том порядке, который мы предположили раньше.
Предел белого шума. В (14.2.7) второй член в [] — порядка а2тс, если A1 порядка единицы. Мы сейчас показали, что высшие поправки порядка azxc(axc)m, т= 1,2. Тогда (14.2.7) становится точным в формальном пределе
хс~*, а—* оо (а2тс фиксировано). (14.3.12)
Естественно, это одновременно сводится к (14.2.9). Для того чтобы реализовать этот предел, нужно рассмотреть последовательность случайных матричных функций A1(Z) порядка единицы, но с убывающим хс. Такую последовательность мы построим для скалярных функций способом, указанным в (8.8.11).
¦352 Возьмем большой временной интервал (О, Т) и предположим, что точки времени тст распределены в нем по Пуассону с плотностью v, предположим также, что имеется набор независимых случайных коэффициентов са с одинаковым распределением. Рассмотрим процесс
где ip^O — заданная функция с конечным носителем (или, по крайней мере, быстро убывающая функция). Мы вычислим производящий функционал:
(vT)*
VT
X
S = O
X
O=I
где < > означает среднее по с0. Поскольку они независимы, среднее факторизуется на s отдельных средних и можно выполнить суммирование по s:
T
G ([*]) --= ехр.
о
T
ехр
V J dx і (ехр і ас ^ k (t) а|5 ^-L-L))- \ |
о ^ с ' .
<с^\AxlHt1)...
т= 1
• • Ч1 (
ъ(1
Xc J
I At1
d t„
Пусть теперь хс стремится к нулю, так что множители г|з((/ — х)/хс) сжимаются в дельта-пики. Пусть а в то же время стремится к бесконечности и плотность V тоже стремится к бесконечности, как V==^xc-1 с фиксированным р. В результате получим
00 T
logG([/e]) = ^- X Щ^<ст>1к(хГАх jxf]4(O)dej'n.
с т-I Q
Полагая, что <с> = 0, в пределе (14.3.12) получаем logG ([?]) = -і-Г ^(x)'dx.
и
В. этом пределе уравнение 114.2.9) является точным. Согласно (8.8.10), это также является пределом, в котором J становится гауссовым белым шумом.
¦354 Упражнение. Предположим, что матрицы A1 (t) при всех t коммутируют друг с другом и с An. Тогда временное упорядочение можно опустить и (14.3.3) можно вычислить. Покажите, что результат будет таким же, как и тот, что найден более непосредственно путем диагонализации матрицы A (t) в (14.2.1).
Упражнение. Частым, но^іе необычным видом Ax(t) является \(t)B с постоянной матрицей В и^калярной случайной функцией Если, кроме того, выполняется (J?<2.8), то снова можно записать (14.2.3) без упорядочения по времени. Запишите получающееся в результате дифференциальное уравнение для <и (/)> во всех порядках по ахс. Упражнение. Выведите выражение для G ([fe]) с помощью (2.5.7), тем самым
