Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
e~tA°f(t) = ag{t).
Обе величины Ai(L) и /(Z) будем считать стационарными, а их времена корреляции — конечными, большее из них обозначим хс. -В окончательных выражениях для простоты положим (A1 (Z)) — 0 и </(Z)>=0. Тогда (14.7.3) принимает вид
It \
ехр j у ^K(Z1)K(Z2)) ClZ1 dz2' I о '
і
<
{ Г
+ С dt' ехр t ~ С <V (Z1) V (Z2)) dt1 dZ2' X
V I У. J
( I \
X ¦{ а2 \ <V (Z") g (Z')> dZ" + ¦ • . [ V r )
В том выражении мы уже опустили высшие кумулянты V, поскольку очевидно, что они дают вклад и более высокие порядки по параметру ахс. й
Если теперь преобразовать двойные интегралы в экспонентах, как это мы сделали в (14.3.3), и пренебречь оставшимся упорядочением по времени, то можно взять производную по времени. Полагая Z^> хс, в результате получаем
а-
<V(Z)V(Z-T)) dx
<v(t)>-
t ( t <* і + 5 dZ'ехр І а2 JdZ1J CV(Z1)V(Z-T)) dx [ {а 2<V(t)g(t')
0 \ f о J
Первая строка представляет собой знакомый результат для однородного случая. Вторая строка, очевидно, имеет порядок а2х<;, а в этом порядке экспоненту можно опустить. Тогда
W<v(t))
a*\<,V(t)V(t--x)> dr о
<'v(t)_> +
CD
Г a2 S <К (Z) g (Z-x)> dx + О (а3х2).
¦372 В первоначальном представлении это выражение имеет вид
А„ + a2 j <A1 (t) CxaOA1 (/ —т)> е"тЛ»(іт
+ а J <Л1(0етЛ»/(/ —т)>с1т. (14.7.4)
В этом случае*, как и в § 14.3, можно убедиться в том, что упорядочение по времени просто добавляет поправки более высокой степени по параметру ахс.
Упражнение. Пусть и — комплексная скалярная функция, удовлетворяющая уравнению
ы = -/ш0{1+а|(0}м + /(0.
где \ н / обладают свойствами, перечисленными в тексте. Найдите уравнение для (и (/)>.
Упражнение. Если не делать упрощающего предположения о равенстве нулю средних (Ax(t)y—-(f(t)y = Q, то результат должен иметь вид
dt (и (0>
Aa+a (A1(I))+ \ ((A1(I)Ja* A^t-т)»е-тЛ»(іт
<u(t)>-
</(*)>+« J ((A1 (t) етЛ° / (t — т)» dt. (14.7.5)
Упражнение. Покажите, что в пределе белого шума (14.3.2) этот результат сводится к точной формуле
dt <u(t)>-
Ло + аСЛПО;-«2 J ((A1(I) A1 (і-т)уу dx
+ </(<)>.+ « J <(Ai (0 f(t — т)» dx.
* Более общий случай и члены более высокого порядка рассмотрены в работе: J. В. Т. М. Roerdink, Physica.
¦373 ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ....................................5
Предисловие автора..................................................8
Глава 1. Стохастические переменные ..................11
1.1. Определения ......................................................11
1.2. Средние........................................................14
1.3. Распределения для многих переменных ......!..............19
1.4. Сложение стохастических переменных . ...........................23
1.5. Преобразование переменных........................................26
1.6. Распределение Гаусса..............................................30
1.7. Центральная предельная теорема..................................33
Глава 2. Случайные события........................................37
2.1. Определения ...........................................38
2.2 Распределение Пуассона............................................41
2.3. Еще один способ описания случайных событий....................43
2.4. Формула обращения................................................47
2.5. Корреляционная функция..........................................51
2.6. Время ожидания.......................................54
Глава 3. Стохастические процессы....................................57
3 1. Определения........................................................57
3.2. Стохастические процессы в физике..................................60
3.3. Преобразование Фурье стационарных процессов....................64
3.4. Иерархия функций распределения..................................67
3.5. Колебания струны и случайные поля..............................71
3.6. Ветвящиеся процессы"..............................................75
Глава 4. Марковские процессы ......................................78
4.1. Свойство марковости..............................................78
4.2. Уравнение Чепмена — Колмогорова ................................84
4.3. Стационарные марковские процессы................................87
4.4. Выделение подансамбля............................................92
4.5. Марковские цепи . ...................................95
4.6. Процессы распада......................... 98
Глава 5. Основное кинетическое уравнение..........................100
5.1. Вывод основного кинетического уравнения .......................100
5.2. Класс W-матриц ............................104
5.3. Предел больших времен ...................... 108
5.4. Замкнутые изолированные физические системы..............112
5.5. Возрастание энтропии............................................115
5.6. Хіоказательство соотношения детального равновесия ........ 119
