Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
y = A(y)+C(y)l(t).
Его вид совпадает с нелинейным уравнением Ланжевена или уравнением Ито (8.8.15), но считается, что ? обладает малым, но не нулевым временем корреляции тс. Покажите, что соответствующее основное кинетическое уравнение (14.5.7) в пределе тс —^ О переходит в уравнение Стратоновича (8.8,19), а не в уравнение Ито (8.8.16). Это подтверждается явным вычислением в примечании в конце § 8.8, но наше утверждение применимо только к внешнему шуму *.
Упражнение. В цепи, изображенной на рис. 41, поток в сердечнике является нелинейной функцией Ф(/) тока J. Генератор производит э. д. с.
V (О = Ko (0 + aV1 (О,
где Vx(I) — случайная величина с нулевым средним. В пределе (11.3.12) плотность вероятности тока описывается уравнением Фоккера — Планка
дР(1, t)__ д f RI-V (t) . 2 Ф" (/) \ , d2 P
Ft ~дГ\- Ф'(I) ^a с° Ф'(Л2/ ^r а"Са W2WlTf'
где
qo
Co=--$<y(*)V«-T)>dT.
о
14.6. БОЛЬШИЕ ВРЕМЕНА КОРРЕЛЯЦИИ
В предшествующих параграфах мы рассматривали малые времена корреляции или, точнее говоря, случаи, в которых ахс<^.\. В этом случае существует общий приближенный метод, дающий определенные и физически полезные результаты. В пределе (14.3.12) выживают только первый член разложения и результат получается таким же, как и при обычных вычислениях в случае белого шума. В § 14.2 мы выяснили причину существования такого общего метода: воздействие флуктурирующего члена в течение времени Tc мало, и его можно вычислить с помощью теории возмущений, затем описать поведение на больших временах, складывая все эти независимые вклады.
Этот метод становится непременимым!, когда автокорреляционное время случайных коэффициентов в F (и, і; Y) велико, т. е. когда атс^1. В этом случае не существует общего метода, но для определенных классов уравнений можно разработать частные методы.
Рис. 41. Нелинейная цепь с генератором случайного потенциала
* Различные выводы даются в [6, Section IV.8].
¦365Они позволяют изучить поведение системы при больших временах автокорреляции.
Первый класс обладает бесконечным тс: коэффициенты в (14.1.1) являются случайными постоянными X, а не случайными функциями Y (t). В этом случае может оказаться, что уравнение можно решить для каждого частного значения х из множества возможных значений X. Допустим, что такое решение U (t; х, а) с начальным значением а известно. Тогда плотность вероятности и в момент времени Z
PU (и, t) = ]& [u — U(t; X, а)]Рх(х) Ах.
Известная и только частично решенная задача такого типа — это линейная цепочка гармонически ограниченных частиц, у которых массы и упругость пружинок —случайные величины*. Тесно примыкает к этой задаче проблема нахождения распределения собственных значений случайной матрицы**. Как будет показано в упражнении, начальный момент времени Z = 0 из результата не исчезает. Это связано с тем, что система обладает бесконечной памятью и никогда не забывает, что в этот частный момент времени величина и была фиксирована и не зависела от значений коэффициентов. Поэтому нет никакой надежды на то, что и хотя бы приближенно будет марковским процессом, не говоря уже о том, что <ы> удовлетворяет такому не зависящему от времени дифференциальному уравнению, как (14.2.7).
Второй класс можно проиллюстрировать уравнением для одной переменной:
и = — А (/)« = — {A0 + al(t)} и, и(0) = а,
где A0 — положительная константа, I (Z) — случайный процесс с большим временем корреляции тг, а — малый параметр. Положим и =
U0 + a U1 + a 2U2 +
и применим теорию возмущений. С точностью
до второго порядка получим
t
и (Z) = е
-AJ
1
¦ а
Sg(Z1)CU1-Ha^df1S dZ2? (Z1) E (Z2)
а.
Возьмем среднее и предположим для удобства (Z)> = 0:
t <t
<«(Z)> = e-V 1 fa2 S dZ, J dZ2<|(Zj)?(Z2)> a. (14.6.1)
* См. работы: F. J. Dyson and others reprinted in: E. H. Lieb and D. C. Mat-tis, Mathematical Physics in One Dimension (Acad. Press, New York, 1966); более позднее развитие дано в работе: J. L. van Hammen and R. G. Palmer, J. Phys. (London) A12, 563 (1979).
** С. E. Porter, Statistical Theory of Spectra: Fluctuations (Acad. Press, New York. 1965); M. L. Mehta, Random Matrices (Acad. Press, New York, 1967); M. Carmeli, J. Statist. Phys. 10, 259 (1974).
¦366Эта формула совпадает с (14.2.4), но из-за того, что время корреляции хс велико, мы не можем продвинуться дальше старым способом. Однако если A0 велико, то все решение быстро стремится к нулю и этого достаточно, чтобы полученное по теории возмущений решение было применимо в течение времени, большого по сравнению с A01. Тогда условие справедливости (14.6.1) имеет вид
a/A0 <^1.
Упражнение. Рассмотрите уравнение и =. — іаш, в котором случайная константа oj распределена вблизи своего среднего значения W0 согласно:
1) распределению Лоренца,
2) распределению Гаусса,
3) экспоненциально.
Найдите распределение P (и, t | а, 0) величины и в момент времени I при фиксированном начальном значении а. Упражнение. Найдите распределение P (х, х, t \ а. Ь, 0) для уравнения х-\- о»2х — О