Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
* R. Kubo in: Stochastic Processes in Chemical Physics (Advances in Chemical Physics 15; K. E. Shuler ed., Interscience, New York, 1969). Also P. W. Anderson, J. Phys. Soc. Japan 9, 316 (1954); R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 9, 935 (1954).
** Дальнейшую литературу о влиянии стохастических возмущений на ширину линий можно найти в работе: G. S. Agarwal, Z. Phys. ВЗЗ, 111 (1979).
¦369 Упражнение. В примере Кубо ширина линии выражается через нормированную «функцию ширины линии» *:
Вычислите эту величину и подтвердите приведенные выше утверждения. Упражнение. Как и в (14.1.2), возьмите м = Cou-I¦ а?, но предположите теперь, что \—процесс Орнштейна — Уленбека. Покажите, что в соответствующих единицах
Упражнение. В случайном осцилляторе (14.8.3) возьмите w(Z)2—wo(l —а?). где ?(/) — дихотомический марковский процесс**. В этом случае будет четыре уравнения (14.6.7) для :'x> + , <х>_, ^x) + , <*>-• Четыре собственных значения дают частоты в усредненном процессе <х (/)>. Для малых у получите два малых распределения Лоренца вблизи частот w0 V^l ± а, а для больших \ — одно распределение Лоренца вблизи ш(>.
Упражнение. Уравнения выживания дефектного гена *** можно преобразовать к виду
с постоянными а, Ь, с и дихотомическим марковским процессом Поскольку настоящее число выживающих генов есть «/(1-}-«), нам незачем знать <и>. Найдите распределение вероятности как функцию времени t в частном случае с = 0.
Упражнение. Для дихотомического марковского процесса Y (І) производящая функция его интеграла есть
Покажите, что она удовлетворяет уравнениям (14.6.9) с W0 = O, а ее явное значение можно получить (из (14.6.10)****.
Упражнение. Жгутиковая бактерия передвигается в химическом градиенте с постоянной скоростью*вдоль оси X. В случайные моменты времени она останавливается и с равной вероятностью продолжает движение либо в направлении -f х, либо в направлении —х. Однако вероятность остановки за единичное время зависит от направления движения, так что она в конечном счете влияет на результирующее смещение X (/). Найдите характеристическую функцию величины X (t), а также ее среднее значение и дисперсию *****.
* Р. С. Martin, Measurements and Cerrelation (Gordon and Breach, New York, 1968).
** R.C. Bourret, U. Frisch and A. Pouquet, Physica 65, 303 (1973); N. G. van Kampen, Physica 70, 222.(1973).
*** H. Falk and W. J. Ventevogel, Physica 95A, 191 (1979).
**** Это неявно использовалось в работе: P. Hu and S. R. Hartmann, Phys. Rev. B9, 1 (1974), для изучения воздействия магнитного поля на систему спинов.
***** Н. С. Berg, Scientific American 233, 2—36 (August. 1975); Nossal R. J. and G. H. Weiss, J. Statist. Phys. 10, 245 (1974).
u* (0) и (t)y --exp [—(e-<— ! + Ol-
и ----- (a + b%) и 4 с
¦370 Упражнение. Запишите и решите уравнение Фоккера — Планка, связанное с
atanhx---
ot cosh X —
где Y (t) — процесс Орнштейна — Уленбека*. Упражнение. Возьмите в (14.3.16) \(t) в виде дихотомического марковского
процесса и найдите точное условие того, что энергия стремится к нулю**.
14.7. НЕОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
В этом последнем параграфе мы рассмотрим систему линейных уравнений
и = A [t)u-rf(t), (14.7.1)
где A (t) — заданная случайная я-вдатрица, а /(/) — заданный случайный гс-компонентный вектор. Будем считать, что времена корреляции A(t) и /(/) малы. Если к тому же A (t) и f (і) статистически независимы друг от друга, уравнение (14.7.1) можно исследовать с помощью методов, развитых в § 14.2 и § 14.3 (ср. с (14.2.13)). Если они не являются независимыми, то (14.7.1) можно рассматривать как частный случай нелинейного уравнения общего вида, изученного в § 14.5. Однако в следующем подходе используется линейность (14.7.1) при непосредственном выводе уравнения для среднего <и(ф в случае, когда A{t) и f(t) коррелируют друг с другом.
Явное решение (14.7.1) с начальным условием и (O) = а имеет вид
t
U (t):
ехр ^ A (t')dt'
ехр
5 л (о dt"
f{t')df. (14.7.2)
Множитель f (t') можно записать внутри символов упорядочения по времени, поскольку t' < t". Тогда можно выполнить усреднение по обоим случайным процессам Awf:
<u(t)>--
(expj A{t')dt'
> і
(ехр
\A(Odt"\f(t'))
dt".
В первом члене можно использовать обычное разложение по кумулянтам, а во втором—тождество (14.3.13): ft t t
<и (ф = ехр j J CiZ1 <А (7Х)> + Y^dt1 J dt2«A (Z1) A (t2)>> -f ... \о оо
4 J dt' ехр j J d t,<A (Z1))+ - . . fx
(14.7.3)
X {</ (/')> + S «Л С"") / (О» dt' ~Г ... J
* М. о. Hongier, Helv. Phys. Acta 52, 280 (1979).
** Bourret, Frisch and Pouquet, loc. cit.
¦371 Для того чтобы превратить это в систематическое разложение, нужно ввести параметр разложения.
Предположим снова, что А (Z) можно представить в виде A0 + 4- (/), и перейдем к представлению взаимодействия (14.2.3). Нет необходимости оценивать величину /, но для удобства мы будем считать, что она имеет тот же порядок величины а. Соответственно для ее представления взаимодействия полагаем
