Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 150

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 159 >> Следующая


избежав введения Т. Указание. Ср. с (2.3.8). Упражнение. Для скалярной функции A\(t) выразите автокорреляционный интеграл, встречающийся в (14.2.9), через параметры, использованные выше для построения J (/). Упражнение. Сформулируйте предел белого шума для случайного матричного процесса aAx(t).

Упражнение. Рассмотрите процесс, полученный в пределе хс —»0, ахс фиксирован. V фиксирована *. Упражнение. Когда А и В—две случайные статистически зависимые матрицы, имеет место тождество

eA?, __<е,г i<?v+«,4?»-f . J

Следствием этой формулы является следующее соотношение для случайного вектора /:

<ел/> = <еЛ> {</>}-!- «-4/» + Y «Л2/» - ...[.. (14.3.13)

Этот же метод можно использовать для нахождения высших моментов компонентов и. Пусть и = {mv}—действительный компонентный вектор, описывающийся уравнением (14.2.1):

п

d(uv== 21 Avk(i)uk (A-=I, 2, . .. п).

X = 1

Тогда произведения UvUll также описываются линейным стохастическим дифференциальным уравнением

dt (UvUll) = 2 Avk(UkUll) -I- 2 Atlk(UvUk) = 2 Avil^kp(UkUp), XXX р

Xp(t) - Avk(t) Stip + Aw(і) 6vk. (14.3.14a)

Тогда их средние удовлетворяют уравнению, аналогичному (14.2.11). Чтобы записать его явно, рассмотрим V2ra (га + 1) = Af произведений UvUvi как компоненты одного вектора cIla, так что (14.3.14а) принимает вид

N

2 dab(t)Vb (а = 1, 2, . . ., N). (14.3.146)

ft= і

* В. J. West, к. Lindenberg and V. Seshadri, Physica 102A, 470 (!980); N. G. van Kampen, Idem p. 489.

¦355 Тогда Л (Z) = A0 + ClA1 (Z) и

dt<Hay =

A0 +а <A1 (/)> + а2 \ «A1(t)exA«A1{t — x)yy е"тЛ» dx

о



Если ы — комплексный вектор, можно, конечно, сначала свести его к предыдущему случаю, записав 2п уравнений для его действительной и мнимой частей. Однако обычно представляют интерес только величины UvUl', они удовлетворяют системе п2 линейных уравнений, из которых можно найти п2 приближенных уравнений для <uvu*viy. Результат называют уравнением Рэдфильда.

Упражнение. Гармонический осциллятор (14.1.3) с частотой W2(Z) = ш|{1 -!-«?{/)}.

Найдите уравнение для <jc2>, <*2>, <,хху. Покажите, что средняя энергия возрастает экспоненциально. Тогда случайным образом возмущенный осциллятор является энергетически неустойчивым, хотя его средняя амплитуда, вообще говоря, стремится к нулю согласно (14.2.10). Упражнение. Двухуровневый атом находится в случайном поле, действующим на его дипольный момент, так что его гамильтониан имеет вид

*-(?'У-•»<«(!«)

Найдите уравнение для его средней матрицы плотности и покажите, что при t —* оо оба уровня равно заполнены. Таким образом, температура стремится к бесконечности из-за того, что в (14.3.15) не было включено затухание, обусловленное спонтанным излучением. Упражнение. Для такого же двухуровневого атома покажите, что автокорреляционная функция дипольного момента р (вторая из двух матриц в (14.3.15)) имеет вид

<Тг р (t) р (0) ps> е - 2at ( cos wt —3 sin wt где

QD

a + ibr-a2 J <\(t) l(t — т)> e-i (?*-?l)TdT, о

w = V (Ez — E1—2b)2 — ^(a2 + b2).

Упражнение. Критерий того, что энергия осциллятора, описывающегося уравнением

*-Ь2у* + ш'о{1 4 а?(0}*^0, (14.3.16)

стремится к нулю, есть

uu

<Y>ya2w» J1 <1(0 І (Z-T)) cos 2ш0т dx,

14.4. ТРИ КРИТИЧЕСКИХ ЗАМЕЧАНИЯ

В этом параграфе мы тщательно изучим некоторые методы, встречающиеся в литературе, и сравним их с работой, проделанной в предыдущих параграфах. Первое замечание касается небольшого изме-

¦356 нения аргумента в § 14.2, что привело нас к (14.2.7). Из (14.2.36) для v(t) с u(0) = а легко находим

t t t,

v(t) = a + a S AtlVit1) a+ a' J At1 J d/2V it,) V (/,)»(/,)•

0 0 0

В отличие от (14.2.4)' это соотношение точное, но оно не решает 14.2.36), поскольку содержит неизвестную величину vit) в правой (части. Если взять среднее, то получим выражение <u(0> через другую неизвестную величину (Vit1) Vit2)v(/2)>. Однако если теперь предположить, что это среднее можно разбить на (Vit1)Vit^y (vit2)y, то в результате получим уравнение, содержащее только* <v(t)'y. t ' t /, (v it)y = a -f a J df, <V (Z1)) а + а2 \ d^ J At2 <.V (tx) V(tt)> (v (t2)>.

О 0 0

Для простоты опять положим <V(/)> = 0. Тогда, дифференцируя, получаем интегродифференциальное уравнение, в котором начальное значение а уже не возникает:

t

dt 'v(ty> = <x*\ At' <Vit)Vit')y<vit'):. (14.4.1)

о

Этот результат отличается от (14.2.6) тем, что скорость изменения <v(t)> выражается не через мгновенное значение <и(/)>, но через интеграл по предшествующим значениям (v (/')>• И только если мы делаем дополнительное приближение, предполагая, что <у(/)> изменяется настолько медленно, что интеграл от (v(t')y можно заменить на <v(t)y, выражение (14.4.1) сводится к (14.2.6). Однако это различие только кажущееся. Сначала можно показать, что сведение среднего (Wvy к (VVy (v> справедливо только тогда, когда можно пренебречь членами относительного порядка атс. С другой стороны, поскольку интеграл по t' в (14.4.1) фактически распространяется только на интервал (t—тс, t), уравнение дает dt<u>~ ~ a2Tff<u>. Тогда, меняя <у(Г)> на <vit)y, заменяем интеграл величиной порядка
Предыдущая << 1 .. 144 145 146 147 148 149 < 150 > 151 152 153 154 155 156 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed