Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
¦346 14.2. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим линейное уравнение вида
и = Л (Z)w = {Л0 + аЛх(/)}«, (14.2.1)
где и—вектор, A0— постоянная матрица, Л х (Z)—случайная матрица, а—параметр, измеряющий значение флуктуаций в коэффициентах. Далее будем считать, что Ax(t) обладает конечным временем автокорреляции тс, если для любых двух моментов времени Z1, Z2, связанных между собой соотношением IZ1-t.,\':>xc, все матричные элементы Л j (Z1) можно рассматривать как стохастически не зависящие от соответствующих Л j (Z2). Величина атс является числом Кибо, введенным (13.4.11), и опять считается малой. В результате мы получим приближенное решение уравнения (14.2.1) в виде разложения в ряд по степеням параметра ахс. Соответствующий вывод будет проделан в следующем параграфе. В настоящем разделе мы используем более простой метод, который, однако, проще в обращении и который можно применять и к более сложным случаям *. ^Удобно, хотя, строго говоря, в этом и нет необходимости, предположить, что ^1(Z) является стационарным матричным процессом. Тогда c4,(Z)> не зависит от времени и его можно включить в A0, положив
А'0 = А0 + а<А1(ф, ал; (Z) = а [A1 (t) — <Al (*)>}. (14.2.2)
так что <Л;(ф = 0. Предположим, что это проделано, и в дальнейшем штрихи будем опускать. Получающееся в результате разложение по а относится только к а, стоящему перед Л'(Z). Таким образом, мы рассмотрим (14.2.1) только в том случае, когда ^1(Z)) = 0.
Переходя в представление взаимодействия, исключим A0:
u(t) = efA«v(t), (14.2.3а)
v = ae-tA»A1(t)etA»v^aV(t)v. (14.2.36)
Решение с точностью до второго порядка по V (0) = и (0) = а имеет вид t t t, u(Z) = a+aSdZ1F(Z1)a + a2S At1 J At2V (Z1) V(Z2)0+ ¦ (14.2.4)
О 0 0
Теперь возьмем среднее с фиксированным а.
t и
<u(Z)>=a + a2 J dZj J dZ2 <V (Z1) V (t2)> a. (14.2.5) ___ о о
* В частности, в квантовой механике, см.: A. G. Pedfield', IBM J. Research Devel. 1, 19 (1957), Advances in Magnetic Resonance 1 (J. S. Waughed., Acad. Press, New York, 1965); C. P. Slichter, PrinciplesofMagneticResonancefHarper and Row, New York, 1963).
¦347 Приближение второго порядка можно использовать до тех пор, пока члены более высоких порядков малы. Поскольку каждый последний член включает на одно интегрирование по времени больше, это ограничение равносильно at 1. С другой стороны, мы хотим использовать его на временах, значительно превосходящих ахе\ следовательно, мы должны предположить атс<<; 1. Тогда для t<^a~x находим
t
<v (Z)) = а + а2 5 At1 5 dx <V (Z1) V (Z1 — т)> а. о о
Когда Z1 > тс, верхний предел интегрирования Z1 в интеграле по % можно заменить на оо, поскольку в любом случае подынтегральная функция в этой области обращается в нуль. Хотя Z1 пробегает значения от 0 до Z, в большей части интервала Z1 > тс. Тогда даш 1V^ Z^a"1 приближенно имеем
t 00
<v (Z)) = а + a2 J dZx J dt <V (Z1) V (Z1-т)>е. о о
Это выражение, однако, также является решением с точностью до порядка а2 линейного дифференциального уравнения
а, <1> (z)> = Ct2
S <V(t) V(Z-T)) dT
Cu(Z)). (14.2:.6)
Таким образом, приходим к выводу, что это уравнение описывает эволюцию величины <u(Z)>. В первоначальном представлении его можно записать в виде
dt <u(t):
A0 +а2 5 <А\(Z) етД°Л! (Z — т)> е~хЛ" dt о
<ы (Z)). (14.2.7)
Следует помнить, однако, что наш вывод справедлив только в течение времени AZа-1 после начального момента времени Z0 = O. Начальный момент времени выделен потому, что в это время значение и было равно нестохастическому вектору а. Легко видеть, что результат равным образом справедлив и тогда, когда начальное значение стохастично при условии, что оно статистически не зависит от A1. Этот факт позволяет нам применить то же самое уравнение (14.2.7) и для следующего интервала AZ, потому что значения A1 в следующем интервале не скоррелированы со значениями в предыдущем интервале в силу малости тг. Даже если допустить, что имеется некоторое перекрытие на границе между этими интервалами, это может привести лишь к небольшой ошибке, поскольку такое перекрытие не может превышать величину порядка хс, что составляет лишь малую часть полного интервала At. Тогда (14.2.7) приближенно справедливо при всех временах при условии, что
¦348 атс<^1. Таким образом, среднее u{t) само подчиняется нестохастическому дифференциальному уравнению (14.2.7).
Предположим теперь, ЧТО не ТОЛЬКО GtTf^l, но и
Tc I Д0 К 1. (14.2.8)
Это дополнительное условие означает, что свободное • движение и является медленным по сравнению с флуктуациями в A1. Тогда (14.2.7) сводится к
dt<u(t)> =
A0 + a? J (.A1U) A1 (t — T)>dT
<и(0>. (14.2.9)
Поскольку A1 предполагается стационарным, интеграл не зависит от времени. Следовательно, воздействие флуктуаций сводится к перенормировке A0 путем добавления к нему постоянного члена порядка а2. Добавочный член представляет собой проинтегрированную ,корреляционную функцию процесса A1. В частности, если имеется ,'бездиссипативная система, описывающаяся величиной A0, этот добавочный член, обусловленный флуктуациями. обычно является дис-сипативным. Эта связь диссипации и автокорреляционной функции флуктуаций является аналогом соотношения Грина — Кубо в многочастичных системах *, но не идентично ему, потому что там флуктуации являются внутренними, а не добавляются в виде отдельного члена, как в (14.2.1).
