Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 145

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 159 >> Следующая


Это ограничение можно смягчить с помощью следующего рассмотрения. Запишем оператор К в (14.4.76) как K = WtH-K1. Тогда (13.4.7а) является представлением взаимодействия

р* = К\р\ (13.4.10)

где /?* = e_nv* и Kt — представление взаимодействия (13.4.4) оператора Ki- Это приближенно является основным кинетическим уравнением, если изменение р* за время Tc невелико.

Это ослабленное ограничение можно сформулировать количественно. Величина K1, заданная интегралом (13.4.76), определяется множителем ?2, умноженным на интеграл от g2, что дает тс. Тогда K1~?2Tc и изменение р* за время тс—порядка (?Tc)2. В таком случае (13.4.10) и, следовательно, (13.4.7а) представляет собой приближенное основное кинетическое уравнение при условии, что

?Tc<l. (13.4.11)

Но приближения а и б, сделанные выше, также основываются на этом условии, и, следовательно, это есть полное условие справедливости (13.4.7) как основного кинетического уравнения. Параметр ?xc является мерой воздействия внешнего влияния в течение одного корреляционного времени. Этот параметр называют числом Кубо.

ГЛАВА 14

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Когда система подвергается воздействию флуктуирующих внешних сил, описывающие ее уравнения движения представляют собой дифференциальные уравнения со случайными коэффициентами. В некоторых случаях эти уравнения можно решить точно или приближенно. В частности, когда флуктуации являются слабыми и быстрыми, можно получить явные уравнения. В пределе это приводит к соответствующим дельта-коррелированным случайным членам.

¦343 14.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Стохастическое дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, коэффициенты которого являются случайными числами или случайными функциями независимых переменных. Так же как и у обычных дифференциальных уравнений, коэффициенты считаются заданными, т. е. их стохастические свойства определены заранее и не зависят от решения, которое нужно найти. Следовательно, стохастические дифференциальные уравнения описывают системы с флуктуациями, вызванными внешним воздействием. Примеры: броуновская частица и описывающее ее уравнение Ланжевена; любая небольшая система, взаимодействующая с большим резервуаром (при условии, что малая система существенно не влияет на резервуар); электромагнитные волны в турбулентной атмосфере; рост популяции в флуктуирующем климате. В противоположность этому почти во всех примерах из предыдущих глав источник шума был внутренним, т. е. присущим самой природе системы.

Общий вид стохастического дифференциального уравнения

и F(и, f. Y(I)); (14.1.1)

где и и F могут быть векторами, a Y (t) обозначает одну или несколько случайных функций, стохастические свойства которых известны. Это уравнение совместно с начальным условием u(t0) а для каждой частной реализации у [t) определяет функцию U (/; \у], а|, которая является функционалом у (і), т. е. она зависит от всех значений (/(/') при O^/'sc;/. Ансамбль решений U (t\ [(/], а\ для всех возможных у (С) составляет стохастический процесс. Решить уравнение (14.1.1) означает найти стохастические свойства этого процесса *

Иногда начальное значение а также является случайной величиной (или вектором). Получающийся в результате стохастический процесс U (/; \у], u] тогда является функцией случайной переменной й, функционалом, зависящим от функции у. Поскольку это является тривиальным обобщением задачи с фиксированным начальным значением а, нет необходимости рассматривать случайные начальные значения отдельно. Уравнение Ланжевена (8.8.1) и более общее уравнение Ито (8.8.15) представляют собой примеры стохастических дифференциальных уравнений. Действительно, в большей части математической литературы название «стохастическое дифференциальное уравнение» ограничивается именно этими случаями**.

* Н. Bunke, Gewohnliche Differentialgleichungen mit zufalligen Parametern (Akademie-Verlag, Berlin, 1972).

** I, I. Gikhman and А. V. Skorohod, Stochastic Differential Equations (Springer. Berlin. 1972); L. Arnold. Stochastische Differentialgleichungen (Olben-bourg. Munich. 1973); Т. Т. Soong, Random Differential Equations in Science and Engenieering (Acad. Press. New York, 1973); A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, volumes (Acad. Press. New York, 1975 and 1976).

¦344 Это подчеркивание роли уравнения Ито может увести нас в неверном направлении, поскольку гауссов белый шум L(t) нельзя рассматривать как настоящий случайный процесс—возникают трудности, упомянутые в гл. 8. Эти трудности имеют искусственную природу, они исчезают, если принять во внимание, что случайная сила в физике никогда не является настоящим белым шумом, а в лучшем случае имеет очень малое автокорреляционное время *. Следовательно, лучше начать с изучения более широкого класса стохастически дифференциальных уравнений (14.1.1), а затем перейти к рассмотрению приближений, справедливых для малых времен автокорреляции в качестве частного случая. Мы это сделаем в § 14.2—14.5, но случай больших времен автокорреляций также представляет интерес и будет рассмотрен в § 14.6. Другим примером стохастического дифференциального уравнения (14.1.1) является
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed