Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 143

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 159 >> Следующая


Pit) e'w Г Л |1 -B(T0)M- P(O) = e'w Г ^ П ! 1 4- В(т„),> ~\ р (0) -

O-I 0--1

I -'

-e'w Г ехр \ g.iMB (Z1Jdfl 1 о

t t

u T И ^ ^ ®'5 d'l d/, + . .. п /? (0)- (1-3.3.7) о о Эта формула является точной, но не такой простой, какой кажется с виду. Временное упорядочение подразумевает, что экспоненты должны быть разложены в ряды и что в каждом члене такого ряда операторы В должны быть записаны в хронологическом порядке. Это означает, что многократные интегралы должны быть разбиты на многочисленные члены для различных частей области интегрирования. Однако, перед тем как выполнить эти действия, некоторые свойства временного упорядочения мы перечислим в виде упражнений *.

Упражнение. Пусть А (/)— зависящая от времени матрица. Запишите явно первые пять членов выражения

г ехр 5 A(t')dr~l.

(13.3.8)

Упражнение. Пусть у (!)— вектор, описывающийся уравнением

y(t) = A(t)y(t). (13.3.9а)

Покажите, что решения этого уравнения можно записать в виде

'(0= Гехр J A (t') dt'^y (Q).

(13.3.96)

Указание. Решите (13.3.9а) итерациями. Тогда (13.3.96) является формальным выражением для эволюционной матрицы, определенной в (8.6.4). Упражнение. Докажите, для 0 < Z1 < / следующее тождество:

I 1 Г t 1 Г ti

Xp ^ A(t') dt' = ехр ^ A (P) At' • ехр J А (P) dt'

п tx о

Указание. Либо используйте результат (13.3.9), либо разложите в ряд. Упражнение. Докажите, что

ехр J A (l') dt' о

ехр

¦ ^ A (P) dt'

где символом {_ ¦ • J обозначено антихронологическое упорядочение, означающее, что операторы в более поздние моменты времени стоят справа, что

Упражнение. Докажите ** t

ехр [ {A (t') +В (t')} dr о

t

ехр \ A(t')dt' .j о

t

exp [ B (P) dt'

о

(13.3.10)

где B (t) — представление взаимодействия для оператора В (t):

B(t)

ехр JJ A (P) dt'

B(t)

exp ^ A (P) At'

* Общее рассмотрение таких тождеств см. в работе: R. Kubo, J. Phys. Soc. Japan 17, 1100 (1962).

** R. P. Feynman1 Phys. Rev. 84, 108 (1951).

¦338 Начнем с того, что возьмем в показателе степени (13.37) только первый член, Это равносильно тому, что мы отбросим в показателе экспоненты все члены, содержащие ?2 и более высокие степени по ?. В то же время опустим все корреляционные функции g2, g3, ... и будем рассматривать падающие фотоны так, если бы они не были ^коррелированными. Изувеченное таким образом выражение (13.3.7) принимает вид

t

ехр Sg1(Z1) В (U) Clz1 р(0).

\ О

р (t) = e'w

В соответствии с (13.3.9) приходим к Тогда, имея в виду (13.3.5), запишем

p(t) = {W + gi (t) В} p(t) = a (Е - 1 )пр + Sl (t) ?(E_1— I) p. (13.3.11)

Тот факт, что р удовлетворяет этому основному кинетическому уравнению, не является удивительным, потому что в этом порядке фотоны рассматривались как некоррелированные и, следовательно, просто порождали вероятность генерации gj(Z)? за единичное время.

Упражнение. Найдите <я>< и <л2>< из (13.3.11) с заданным начальным значением п (0). В частности, для at > 1

«"2»t = ? J е-a^1(Z-T) dt.



Упражнение. Из (13.3.11) найдите автокорреляционную функцию «л (Z1) п (t2)

если задано начальное условие п (0). Упражнение. Решите (13.3.11) явно с помощью производящей функции р.

13.4. ФОТОЭФФЕКТ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Следующее приближение включает зависимость от корреляционной функции g2. Для простоты предположим, что пучок фотонов стационарен, так что не зависит от t. Член ^1B в (13.3.11) нельзя рассматривать как малое возмущение, потому что он ответствен за поддержание стационарного состояния. Поэтому в качестве невозмущенного уравнения надо взять

p(*) = {W + &B}/>(0 = WV(0- (13.4.1)

Возникает вопрос: как перегруппировать члены в (13.3.7) таким образом, чтобы член, содержащий g2, появился как поправка к (13.4.1)? Это можно сделать, используя (13.2.10), но более прямой метод состоит в следующем.

Начнем с уравнения (13.3.4), в которое, однако, еще не введено представление взаимодействия (13.3.5). Это уравнение также можно

338- записать в сжатой форме, если использовать временное упорядочение. Это можно сделать с помощью следующего приема. Хотя W не зависит от времени, запишем W(Z), где аргумент служит просто для обозначения положения в хронологическом порядке. Аналогично запишем B(Z) для постоянного оператора В. Тогда (13.3.4) совпадет с

fr ] '

OOUld - ехр { W(Z1)ClM П {U В(Т„)} P(O).

Vo Г-1

Временное упорядочение относится и K Z1, И К T0,

Усреднение по истории (13.3.3) можно выполнить так, как если

бы операторы коммутировали: (' \

p(t) ехр U W(Z1)ClZj . п {1-, B(T0)I P(O) Vo )

( '

ехр \ \ [W(Z1)^g1B(Zl)IdZ1 -Vo

2 J j Si (tu t2) B(Z1)B(Z2)

dZ, dZ,

о о

( J

p(0). (13.4.2)

Оператор [] равен Wi(Z1), заданному в (13.4.1), и может быть получен с помощью тождества (13.3.10):

L і \

р (Z) ^elw* ехр

V о о

{j ^gAtu /л В* (MB* U4HMz2J

р(0). (13.4.3)

Здесь В* (Z)—другое представление взаимодействия, основанное на W* вместо W:

В* (Z) = е -<w*Be(w*

(13.4.4)

В показателе степени (13.4.3) опущены члены с теми степенями ?, которые выше, чем ?2. Другие приближения не делались, но опять из-за временного упорядочения, однако, формула (13.4.3) не так проста, как выглядит.
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed