Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
T = Q-2Z(Q) t. (10.1.6)
Диффузионное приближение (10.1.5) представляет собой нелинейное уравнение Фоккера — Планка (8.2.5). Действительно, теперь мы обо-
260- сновали выводы, приведенные в § 8.2, показав, что оно действительно является первым членом систематического разложения по Q-1 для основных кинетических уравнений, обладающих свойством (10.1.1). И оно справедливо только тогда, когда оба коэффициента
(.AxyjAt и <ДXfyjAt
имеют один и тот же порядок величины по й. При обычном выводе уравнения Фоккера — Планка это условие принимается как предел малых скачков и подразумевается либо молчаливо*, либо явно**. Оно также подразумевается в условиях, на которых основано доказательство Колмогорова.
Резюме. Специальный класс основных кинетических уравнений, характеризуемых условием (10.1.1), будем называть основными кинетическими уравнениями диффузного типа. Для таких основных кинетических уравнений й-разложение приводит к нелинейному уравнению Фоккера — Планка (10.1.5), а не к макроскопическому закону с линейным шумом, как это было в предыдущей главе для основных кинетических уравнений вида (9.3.4). Определение обоих типов заранее предполагает, что вероятности перехода имеют канонический вид (10.2.3) и не отличаются для дискретной и непрерывной областей возможных значений стохастической переменной; й-разложение однозначно приводит к хорошо определенному уравнению (10.1.5) и поэтому избавляет от трудностей интерпретации уравнения Ито, упомянутых в § 8.8 и 8.9.
Традиционный вывод уравнения Фоккера — Планка (10.1.5) или (8.1.1) основывается на математическом доказательстве Колмогорова, в котором предполагается, что имеется бесконечно много бесконечно малых скачков. Однако в природе все скачки имеют некоторый конечный размер**. Следовательно, W не бывает дифференциальным оператором, а всегда имеет вид типа (5.1.1). Обычно W содержит подходящий параметр разложения и имеет канонический вид (9.2.3). Если оказывается, что выполняется равенство (10.1.1), то разложение в нижнем приближении приводит к нелинейному уравнению Фоккера— Планка (10.1.5). Уравнениям Фоккера — Планка и Ланжевена нельзя приписать более фундаментального смысла, чем тот, который приписывается ему настоящим приближением.
Пример. Рассмотрим симметричное случайное блуждание с непрерывным временем:
Pn = Pn + i + Pn-I- 2рп.
Мы хотим учесть возможность уменьшения длины шага и поэтому вводим «макроскопическую» переменную х = n/Q с измененным масштабом. Плот-
* Как в § 8.2 или в цитированной выше работе М. Планка.
** См. [I, с. 323].
*** N. G. van Kampen in: Thermodynamics and Kinetics of Biological Processes (A. I. Zotin ed., de Gruyter, Berlin, 1981).
261- ность вероятности Р(X, і) удовлетворяет уравнению
Р(х, 0 = Я (* + -!-, t)+p(x-±
Соответственно
wI*' ГЇ = Ь(Г—Я +ЧГ+1Г
-2Р(х, t).
(10.1.7)-
имеет канонический вид (9.2.2). Далее
2
Oti (X) = O1 Ot2 (ДТ) =Q2"-
Тогда основное кинетическое уравнение относится к диффузионному типу, а низший порядок по 1/Й дается (10.1.5) с T = Q-2/:
(10.1.8).
дт
дх2 '
Неудивительно, что получилось уравнение диффузии, ведь физически диффузия—это не что иное, как случайное блуждание с малыми шагами, хотя и не обязательно одинаковой длины, как в этой простой модели. Упражнение. Для одношагового процесса вероятность скачка которого имеет вид (9.2.6), условие (10.1.1) дает
Po-=SYo. (10.1.9)
Упражнение. Проверьте, что первая строка уравнения (10.1.4) действительно совпадает с (8.2.5), убедившись в том, что имеют место соотношения
<Д*> At
-Q-*f(Q) «ід (X),
<(Ах)2>л
At
= Q-2Z(Q) Gt2lO W-
Упражнение. Покажите, что (10.1.8) согласуется с (1.4.8).
Упражнение. Асимметричное случайное блуждание (8.2.8) не удовлетворяет ни (9.3.4), ни (10.1.1), но может быть сведено к виду (10.1.1). Покажите, что результат совпадает с тем, что рассмотрено в § 8.2. Упражнение. Такой же способ сведения можно использовать всегда, когда ах, O = Const.
10.2. ДИФФУЗИЯ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Предположим, что частица движется в одном направлении в периодическом потенциальном поле V(X)1 минимумы которого разделены острыми максимумами (рис. 30). Минимумы являются участками, на
V(X)
п-1 п л-tl п + 2 X
Рис. 30. Периодический потенциал V (х) с острыми максимумами
которых частица остается достаточно долго, совершая случайные скачки на соседние участки. Вероятность скачка за единичное время
262- для этого одношагового процесса есть r„ = g„ = А, где А включает в себя множитель Аррениуса ехр(—?.Ea) (см. § 7.5). Это и есть пример из предыдущего параграфа*.
Предположим, что теперь вводится дополнительный внешний потенциал U (х), изменяющийся на макроскопическом масштабе и поэтому являющийся функцией X. Число участников, приходящихся на макроскопическую единичную длину, является нашим параметром ?2. Наличие U (х) изменяет высоту потенциальных барьеров (измеренную от дна впадины). Новые вероятности скачков определяются выражениями
(10.2.1а) (10.2.16)
(10.2.2)
