Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
?1
дт
L Oi,-jо-"»о!,.+^r Q-1*;;^3 + - - - +
.б+ у q-1cs, о!2+ • ¦ • +Q-1cc2,!+ •• -]п-
If -LL [Q-V2a30 + Q-i«if ,?+... ]П +
+7г "If [^-1"4- о + • ¦ • Jп- (9.6.1)
255- от 1. Этого усложнения можно было бы избежать, если бы мы не раскладывали Ф, а записали повсюду вместо av> 0 полный момент перехода av. Но это было бы равносильно учету более высоких порядков до й-1'2, чем того требует условие совместности с другими приближениями, в частности это означало бы использование (5.8.6) вместо (9.3.1) (ср. с примечанием в § 9.3).
Примечание. Исходное основное кинетическое уравнение, которое мы сейчас аппроксимируем, обладает такими свойствами: оно сохраняет положительность и все его решения стремятся к стационарным. Уравнение Фоккера — Планка второго порядка также обладает этими свойствами, однако, добавляя высшие производные, мы их утрачиваем. Предположим, мы удержали в (9.6.1) члены до порядка Q-1 включительно, т. е. опустим все члены, обозначенные точками. Получившееся в результате дифференциальное уравнение четвертого порядка уже не обладает указанными двумя существенными свойствами *. Это означает, что (9.6.1) неверно или бесполезно—просто из этого уравнения мы не должны делать выводов, включающих степени параметра Q-1'2 более высокие, чем то подразумевает правильное использование уравнения (9.6.1)**.
Наиболее безопасным способом избежать этих трудностей можно написав уравнение моментов так, как это будет показано ниже.
Члейы, записанные явно в (9.6.1), достаточны для вычисления <!> и фу с точностью до й-1. С этой целью из (9.6.1) выводим
S1 Ф - „ <с> + у Q- 0 <|2> + Jf Q-1«;;; фу +
+ Q-IZ2Qtli! -t- Q->a;, х <?> + О (Q"3'2), (9.6.2а) д, фу = 2a;,. фу + Q- 1/2а,,» <|3> Q-l<'„ <|*> +
+ 2Q- v2Ot1, І Ф + 2Q~1ai , <?2> + olf „ + Q~1,2al 0 ф +
f 1 о Ф> + Q-1K2,! + О (Q-3'2). (9.6.26)
Поскольку в правой части появляются третий и четвертый моменты, мы должны записать для них уравнения с требуемой точностью:
dt ф) = Зсц, о ФУ т- у о Ф> + 30-Vnx,,, <?2> +
+ 3a,, 0 ф -t- Q-1^a2i, <s2> + Q-'/„ + О (Q"1), (9.6.2в) д, фу = 4< о фу + 6a2,0 <!2> + о (Q-V2). (9.6.2г)
Отметим, что если опустить члены порядка Q-3'2 в <?> и <|2>, то это приведет к автоматическому обрыву иерархической цепочки уравнений для моментов. Стратегия решения этих уравнений ясна. Сначала решаем (9.6.2а) и (9.6.26) в низшем порядке, т. е. опуская
* Тот факт, что не существует дифференциального уравнения порядка более высокого порядка, чем уравнение Фоккера—Планка, способного описать эволюцию плотности вероятности, был строго доказан в работе: R. F. Pawula, Phys. Rev. 162, 186 (1967).
** Численно это было показано в работе: Н. Risken and Н. D. Vollmer, Z. Phys. В35, 313 (1979).
256- все члены порядка Q1'2 и выше. Получившееся значение <|2> можно подставить в (9.6.2а), чтобы определить <!4> с точностью до Q-1 и в (9.6.2), чтобы определить <?4> в низшем приближении.
Эти два результата позволяют решить уравнение (9.6.2в) и определить <|3> с точностью до й-1/2. Полученная таким образом информация позволит определить члены в правой части (9.6.2а) и (9.6.26) с точностью до й-1, затем с такой же точностью можно будет найти <g> и <|2>.
Для того чтобы определить флуктуации относительно нестационарного состояния, нужно проделать гигантскую работу, однако ее объем становится разумным в случае стационарных флуктуаций, когда все коэффициенты а — константы. В качестве приложения вычислим автокорреляционную функцию флуктуаций в стационарном состоянии полупроводника, описывающегося (9.2.18). Макроскопическое уравнение имеет вид ф = Ь—аф2 и обладает стационарным решением ф* = V Ь/а.
Скачкообразные моменты имеют вид
av (ф) = «v, о(ф) =&+(—1)V йф2-
Уравнение (9.6.1) можно легко выписать для ф = ф*. Чтобы записать его в более компактном виде, изменим масштаб переменных:
2/Kflft = в; {a/by^l = t|; (а/Ь)1'* Q-''« = e. (9.6.3)
Тогда уравнение (9.6.1) принимает вид
(9.6.4)
Уравнения для моментов имеют вид
(9.6.5а) (9.6.56)
(9.6.5b) (9.6.5г)
<TiV = |-<TrV = 4 + 0(e),
<Т13>* = — -J-E+O (є2),
<ti>a = — -^-6+0(63).
(9.6.6а) (9.6.66) (9.6.6b) (9.6.6г)
257- Затем для заданного начального значения т)0 такого, что <Л>о = Г)0, <Т1г>0 = Т1§, <Т|3>0 = Г]о, <Л4>о = Т1о.
описанным выше способом решаем уравнения, зависящие от времени. Получающееся значение <т) (o)>Tle с точностью до є2 используют совместно с (9.6.6в) для построения автокорреляционной функции:
«Ло <Л (0)>и„>У = V2 (1 - 72е2) е-с-'^е + v8e2e-(2-е. (9.6.7)
Коэффициенты и показатели степеней верны с точностью до порядка E2-Q"1.
Выводы. 1. Из (9.6.6г) следует, что в этом порядке средние значения уже не совпадают со своим макроскопическим значением, даже в стационарном состоянии:
<пУ = Qcp* + Q1'2 <Е>* = Q VbJa—.
Однако разница составляет всего V4 электрона.
2. Из (9.6.7) следует, что члены порядка Q-1 понижают скорость распада основного члена, а также модифицируют его коэффициент. Однако и вовсе поразительным оказывается появление другого экспоненциального члена, который распадается примерно вдвое быстрее. Таким образом, нелинейность приводит к дополнительному дебаевскому члену в спектре флуктуаций, который в принципе можно наблюдать. Высшие порядки приводят к последовательности таких членов.
