Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
е. На рис. 27 дается качественное объяснение того факта, что флуктуации не нарастают, когда макроскопические решения устойчивы. Макроскопические решения сходятся. Вследствие флуктуации
247- система может перескочить с одной кривой на соседнюю, но с течением времени этот эффект сведется на нет, поскольку расстояние между кривыми стремится к нулю.
В устойчивом стационарном состоянии, или в равновесии, значения флуктуаций являются результатом конкуренции между скачками и макроскопическим возвращением к равновесию. Оба эффекта
представлены первым и вторым членами в правой части уравнения (9.4.26) соответственно. Это является основанием соотношения Эйнштейна (8.3.9) и флуктуационно-диссипативной теоремы.
Уравнение (9.4.2а) для среднего уменьшения начальной флуктуации совпадает с уравнением для вариаций (9.3.5), связанным с макроскопическим уравнением. В линейном приближении вблизи равновесия это означает, что регресс флуктуаций описывается макроскопическим законом. Это предположение использовал Онзагер в своем выводе отношений взаимности*. Тогда (9.4.2а) является обобщением предположения Оизагера на не зависящие от времени состояния нелинейных устойчивых систем.
ж. Из условия (9.3.4) следует, что имеется одно cps, которое глобально устойчиво, т. е. все другие решения стремятся к нему. Некоторые макроскопические законы обладают локально устойчивым т. е. решение (9.3.3) обладает ограниченной притягивающей областью, так что решения только в этой области стремятся к ф5 (рис. 28). Внутри этой области на достаточном удалении от ее границы по-прежнему можно использовать Q разложение для нахождения флуктуаций, в частности флуктуаций относительно фл.
Однако имеется малая вероятность того, что флуктуация выведет систему из притягивающей области и система никогда не возвратится к состоянию ф*. Вероятность такого события обычно порядка е-й и, следовательно, обычно очень мала, за исключением окрестности границы притягивающей области. Понятно, что такой член никогда нельзя найти с помощью разложения по степеням Q-1^2, для этого нужны совершенно иные методы (см. гл. 11). Это очевидное ограничение послужило причиной чрезмерных опасений относительно справедливости Q-разложений ** и даже самого основного кинетического уравнения***.
* L. Onsager, Phys. Rev. 37, 405 and 38, 2265 (1931); Н. В. G. Casimir, Rev. Mod. Phys. 17 , 343 (1945); De Groot and Mazur.
** W. Horsthemke and L. Brening, Z. Phys. 27 , 341 (1971); W. Horsthemke, M. Malek-Mansour and L. Brening, Z. Phys. B28, 135 (1977).
*** M. Malek-Mansour and G. Nicolis, J. Statist. Phys. 13, 197 (1975).
Рис. 27. Сходимость макроскопических решений предотвращает нарастание флуктуаций
248- з. Корректность макроскопического закона (9.3.1) была доказана строго в следующем смысле*. Выберем временной интервал (О, Т) с допустимой ошибкой б > 0. Тогда вероятность того, что для всех 16 (0, Т) истинное значение х отличается от <p (t) не более чем на б, стремится к 1 при Q-^oo. Было также доказано**, что ошибка стремится к распределению Гаусса, как это дается приближением линейного шума. Отметим, однако, что здесь T фиксируется до того,
нием самого решения фь, стремятся либо к фа,~либо К фс
нельзя сказать о поведении на больших временах. Тогда доказательства в равной степени применимы и к неустойчивым случаям, рассматриваемым в следующих двух главах, но в этом случае они просто описывают начальный переходный период (10.1.3), а не то поведение, которым мы действительно интересуемся.
и. В нашу картину не входят ни нелинейное уравнение Фоккера— Планка в виде (8.1.1), ни нелинейное уравнение Ланжевена (8.8.15), а поэтому не возникает дилеммы Ито—Стратоновича. Нелинейное уравнение Фоккера — Планка появляется в следующей главе, когда условие устойчивости (9.3.4) уже не выполняется.
Однако даже в настоящем случае можно было бы записать нелинейное уравнение Фоккера—Планка и соответствующее уравнение Ланжевена, которые в части, касающейся приближений линейного шума, привели бы к тем же самым результатам, что и найденные здесь ***.
* Т. G. Kurtz, J. Appl. Prob. 7, 49 (1970).
** Т. G. Kurtz, J. Appl. Prob. 8, 344 (1977). Т. G. J. Kurtz, J. Chem. Phys. 57, 2976 (1972).
*** Z. A. Akcasu, J. Statist Phys. 16, 33 (1977); N. G. van Kampen, Statist. Phys. to be published (1981).
249- И все же любые другие содержащиеся в них черты, выходящие за рамки этого приближения, были бы неправильными. Например, для такого уравнения Фоккера — Планка нельзя было бы сделать вывода о том, что оно обладает стационарным распределением (8.1.4).
Упражнение. Запишите приближение линейного шума для решения P (X, ty
с начальным значением (9.2.8) явно в терминах ф и решение (9.4.2). Упражнение. Убедитесь в том, что в приближение линейного шума в устойчивом стационарном состоянии всегда приводит к процессу Орнштейна — Уленбека.
Упражнение. Примените к (9.2.18) Q-разложение и выведите соотношения
Отметим, что а и і нельзя определить экспериментально, измеряя лишь <jOs и «я2»4, для этого нужно получить еще спектр флуктуаций.
