Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 107

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 159 >> Следующая


Упражнение. Решите (9.4.2) явно.

Упражнение. Покажите, что члены Фь Ф2 ... в (9.2.4) не дают вклада в приближение линейного шума. Тогда различие между (9.3.1) и (5.8.6) в этом приближении несущественно.

Упражнение. Для того чтобы решить основное кинетическое уравнение с начальным условием (9.2.8), в качестве начального значения возьмите ф (O) = AJ0—с?Г1/2- Покажите, что получающееся в результате значение <д:>f будет таким же самым, как если бы мы взяли ф (O) = AJ0.

Упражнение. Распространение эпидемии в популяции из отдельных й-индиви-дуумов, п из которых инфицированы, a Q — п нет, в простейшем случае можно описать с помощью условий г(п) = 0 (не излеченные) И g(n) = ?nx Х(1—n/Q). Найдите <я> и <<л2» как функции времени.

Упражнение. Докажите, что (5.8.12) и (5.8.9) либо (5.8.15) образуют согласованное приближение. Действительно,

Упражнение. Убедитесь в том, что (9.5.6) — это не что ииое, как приближение линейного шума для (8.5.1).

В том случае, когда имеется не одна, а несколько флуктуирующих величин, способ, которым можно провести Q-разложение, во многом совпадает с одномерным случаем. Основное различие состоит в том, что макроскопические уравнения в том случае более сложны и обычно их не удается решить явно в квадратурах. Вместо того чтобы дать общую формулировку, мы лучше продемонстрируем многомерное Q-разложение на конкретном примере.

d «ft2X dt ?

dtol=2a'1 (у) сі + а2 (у) + O (Q1'2).

(9.4.8а)

(9.4.86)

9.5. РАЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

250- Рассмотрим следующую химическую реакцию в открытой системе, включающую два реагента X и Y:

аЛх,

2X--Y, (9.5.1)

Y Л В.

Первая строка описывает производство атомов X из заданного резервуара А с постоянной скоростью aQ. Вторая строка описывает •объединение атомов X в молекулы Y за единичное время yrix/Q. Третья строка описывает потерю молекул Y с вероятностью ?nY вследствие дальнейшей реакции или какого-нибудь другого механизма. Макроскопические уравнения имеют вид

nx = CtQ-2(Y/Q)n2x, (9.5.2а)

nY = (v/Q)n2x — ?nY. (9.5.26)

Мы интересуемся флуктуациями относительно этих макроскопических значений и поэтому введем совместное распределение вероятностей P {tlx, п\, 0. удовлетворяющее основному кинетическому уравнению

P = aQ(Ex1-l)P + (y/Q)(E2xEy1-l)n2xP + ?(FY-l)nYP, (9.5.3)

где Ex и Ey — операторы шага, действующие на пх и nY. Тот факт, что уравнение нелинейно, вынуждает нас применить Q-разложение.

Преобразование (9.2.9) записывается теперь следующим образом:

nx = Q<p(0 + Ql/2?, nY = Q\|)(/)-f Q1/2r), p(tlx, «Y, 0 = П(?, л, 0-

Подстановка в основное кинетическое уравнение в требуемом порядке по теории возмущений дает

+ + (9.5.4)

И снова мы можем рассмотреть последовательные степени по Q отдельно.

Все члены порядка Ql/2 оказываются пропорциональными либо дії/д?, либо дП/дт]. Условия обращения в нуль для членов каждого

251- вида запишем следующим образом:

_ ф = —а + 2у<р2, (9.5.5а) — гр = — + (9.5.56)

Эти уравнения представляют собой макроскопические уравнения (9.5.2). Их можно решить явно, и, как нетрудно заметить, все решения стремятся к

Ф* = УаіЩ), i|>< = a/(2?). (9.5.6)

Кривые, изображающие решения в (ф, ij;)-плоскости, изображены на рис. 29. Очевидно, что решения стремятся к стационарной точке, так что они глобально устойчивы. Члены порядка Q0 в (9.5.4) дают

f-Msl-^in + Pc^n + ^S? +

Это многомерное линейное уравнение Фоккера — Планка типа решенного в § 8.6. С его помощью найдем моменты ? и т|:

dt<?> = —4уф<?>, (9.5.8а)

dt<T|> = 2Yq><?>—Р<т|>- (9.5.86)

Эти уравнения также совпадают с уравнениями для вариаций, связанными с макроскопическими уравнениями (9.5.5).

Имеется три момента второй степени. Они удовлетворяют трем связанным уравнениям:

dt <?2> = — 8-уф <?2> -f а + 4уф2, (9.5.9а)

dt <ті2> = 4уф <g-n> — 2? <ті2> + y<P2 + РФ, (9.5.96)

<?т|> = -4уф<?ті> — 2уф<^2> — ? <gri> — 2у<р2. (9.5.9b)

Эти уравнения определяют дисперсии и ковариацию флуктуаций величин лх и относительно их макроскопических значений, задаваемых решением (9.5.5). Однако вместо того, чтобы изучить зависящее от времени состояние, в общем случае мы лучше сосредоточимся на стационарном состоянии.

Для того чтобы найти флуктуации в стационарном состоянии, нужно подставить в качестве ф и 4F их стационарные значения (9.5.6). Для простоты, воспользовавшись свободой в выборе единиц времени, положим V2ау=1. Тогда уравнения (9.5.8) для первых моментов

252-

Рис. 29. Фазовые кривые системы уравнения (9.5.5) принимают вид

<?,<?> =-2 <?>, (9.5.10а)

o* <т|> = <?>—? <л>- (9.5.106)

Уравнения для вторых моментов удобно записать в матричном виде

. /<?2>\ /-4 0 0 \/<12>\ /За\ -Tf= <Л2> H 0 -2P 2 <т»'> + а ¦ <9-5Л1>

W/ \ 1 О -2-P/W/ 4-а/

Первый вывод, который можно сделать из этих уравнений, состоит в следующем:

<6'>' = 4а, <4V= ^g^a, 4(2 + ?)'

Если переписать эти соотношения в исходных величинах, получим:

«л2х»л = 4<лхм, (9.5.13а)
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed