Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 117

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 159 >> Следующая


* Я благодарю Гардииера за полезное обсуждение этого вопроса.

** M.S. Green, J.Chem. Phys. 20, 1281 (1952); N.C. van Kampen1Physica 23, 707 and 816 (1957); U. Uhlhorn, Arkiv for Fysik 17, 361 (1960); R. Graham, in: Ergebn. exakten Naturw. 66 (Springer, Berlin, 1973); H. Hasegawa, Prog. Theor. Phys. 55, 90 (1976).

*** H. Grabert and M. S. Green, Phys. Rev. A19, 1747 (1979); H. Grabert, R. Graham, and M. S. Green. Phys. Rev. A21, 2136 (1980).

275- должно привести к тем же результатам, что и разложение по Г, при условии, что в коэффициентах, где встречается постоянная k, она иигде не образует комбинации с Т.

Упражнение. Покажите, что затухание в (10.5.3) приводит к убыванию свободной энергии.

Упражнение. Покажите, что (10.5.3) дает верные детерминистические законы,

относящиеся к (8.7.4) и (8.4.11). Упражнение. Убедитесь в том, что (10.4.5) в детерминистическом пределе дает

X/ = —ц,7(х){(Ш/с1х,}

с симметричной матрицей (ср. с (10.4.16)). Упражнение. Найдите следующий порядок в разложении (10.5.12), полагая дс/ = х, (О + 01'2^/, и получите по аналогии с (10.5.4) уравнение

ОТ JdF1-(X) .1 д dU(x)\ o ,„, 1. д2П /ln ,

-TT= { -, 4—n-^—l>i/<x) , > тгНьП+-я-г), / (х) -гт-—T7T- . (10.5.14) dt \ дхк ~ 2 dxk l> dxj f dl; ** ^2 '1У ' dg,- dgy v

Согласно § 8.6, решением является гауссиан. Упражнение. Сформулируйте соотношения Оизагера для нелинейных систем. Упражнение. Иногда Pe (х) содержит дополнительный множитель ш(х), связанный с фазовым пространством, так что его зависимость от 6 дается выражением

Pe (х) = W (X) ехр (-U (х)/О). Покажите, что это не влияет на результат (10.5.13).

ГЛАВА 11 НЕУСТОЙЧИВЫЕ СИСТЕМЫ

В предыдущей главе рассматривался один частный случай, в котором не выполнялось основное условие устойчивости (9.3.4). Теперь мы посмотрим, что бывает в тех случаях, когда это условие грубо нарушается. Приведенные здесь примеры —это только выборка из большого числа возможностей, подобранная так, чтобы выделить то новое, что возникает в таких случаях. Исчерпывающего рассмотрения всех типов неустойчивости до настоящего времени не сделано.

11.1. БИСТАБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

Для того чтобы облегчить обсуждение, сузим понятие «состояние», определив следующие три значения этого слова. Будем называть участком любое значение стохастической переменной X или п. Макросостоянием назовем любое значение макроскопической переменной ср. Зависящее от времени макросостояние является решением уравнения (9.3.1), а стационарное макрососюяние — решением (9.3.3). И наконец, мезосостоянием будем называть любое распределение вероятности Р. Зависящее от времени мезосостояние является решением основного кинетического уравнения, стационарное мезосостояние—это не зависящее от времени решение Ps(X).

Вначале предположим, что выполняются условия устойчивости (9.3.4). Тогда существует только одно макросостояние <ps. Оно свя-

276- зано со стационарным мезосостоянием Ps(X) в том смысле, что последнее является острым пиком относительно Q(jps и в пределе Q —>- OO . стремится к дельта-функции от ?2<ps. Далее, благодаря (9.3.4) любое зависящее от времени макросостояние ф (/) удается связать с зависящим от времени мезостатическим состоянием P (X, /), составляющим острый пик вблизи Ф (t) и движущимся вместе с ним. Эта связь неоднозначна и точно не определена: каждому ф(^) соответствуют много P (X, t), обладающих такими свойствами, и мы не можем точно определить, насколько острым должен быть этот пик. Мы только можем сказать, что его ширина не должна превышать величины порядка QU2. До сих пор мы рассматривали только такие мезосостояния. Однако существует и много других, например таких, которые не состоят из единственного острого пика и которые поэтому нельзя связать ни с одним макросостоянием ф. Скорее они описывают распределение вероятности по набору макросостояний. Возьмем, например, макросостояние

P (X) = лхб(Х-X1Hn2S(X-X2) (11.1.1)

с двумя постоянными X1Ф-X2 и двумя положительными коэффициентами U1 -f л2 = 1. Это макросостояние связано с двумя макросостояниями ф^Х^О и ф2 = Х2/?2 таким образом, что система имеет вероятность лх находиться в макросостоянии фх и п2 находиться в состоянии ф2. Аналогичным путем любое плоское распределение P (X) можно представить как сумму острых пиков, каждый из которых представляет собой мезосостояние, связанное с макросостоянием. И опять это разложение не единственно, потому что форма и ширина отдельных пиков могут изменяться в некоторых пределах. Все это контролируется условием (9.3.4), которое гарантирует, что острая функция Р(Х, t) остается острым пиком.

Рассмотрим случай, когда ах 0 (ф) имеет вид, изображенный на рис. 32.

Имеется три стационарных макросостояния фв, фь, фс, из которых ц>а и фс локально устойчивы, а фь неустойчиво. Даже с точки зрения чистой макроскопики состояние фь нельзя рассматривать как реализуемое, потому что система, находясь в фь, из-за малейшего

скорости в бистабильных системах. На рисунке показаны также области притяжения

277- внешнего возмущения скатится либо в фв, либо в фг. Системы, обладающие макроскопическими характеристиками, подобными тем, что показаны на рис. 32, называют бистабильными. Примеров таких систем много. В литературе чаще всего упоминают пример с лазером (см. § 11.9), туннельным диодом Исаки * и химической реакцией Шлегла (9,3.6). Макроскопическое уравнение для скорости реакции имеет вид
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed