Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
3. Микроскопическое рассмотрение нелинейных флуктуаций приводит также к другому выводу, а именно что нелинейность совсем не влияет на спектр флуктуаций *. Правда, настоящее мезоскопи-ческое рассмотрение основано на предположении, что применимо основное кинетическое уравнение относительно обоснованности микроскопического рассмотрения **.
Поэтому было бы интересно провести experimenturn cruris.
Упражнение. Покажите, что dfP (х. t)=ad4xP не стремится к стационарному решению при а > 0 и не сохраняет положительности, когда а < 0. Распространите этот вывод на дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в общем виде. Упражнение. Пусть P = WP — основное кинетическое уравнение, сохраняющее положительность. Предположим, что W = W0 + eWi + e2W2+ • ¦ ¦> W0, где также сохраняет положительность, a W0 + 8VVi не сохраняет. Покажите, что это можно было бы исправить, включив в иных отношениях неправильные старшие порядки следующим образом***. Положите W=V2 и V = V0+eUi, так что (Vo-^el)1)2 совпадает с W0 + eWi в отношении членов порядка е.
Упражнение. На первый взгляд третья и четвертая производные в (9.6.1) не подходят для вычисления первого и второго моментов g. Тем не менее,
* W. Bernard and Н. В. Callen, Rev. Mod: Phys. 31, 1017 (1959); Phys. Rev. 118, Н66 (1960).
** N. G. van Kampen, Physica Norvegica 5, 279 (1971).
*** A. Siegel, J. Mathem. Phys. 1, 378 (1960).
258- почему ими нельзя пренебречь при вычислении автокорреляционной функции такой, как (9.6.7)? Упражнение. Для (9.1.4) вычислите
Упражнение. Выведите (9.4.8) с помощью непосредственного разложения до требуемого порядка по Q-1/2, не прибегая к приемам, использованным в § 5.8.
ГЛАВА 10 ПРОЦЕССЫ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
Нами было показано, что в низшем порядке Q-разложение приводит к микроскопическому уравнению, а в следующем порядке — к приближению линейного шума при условии, что выполняется условие устойчивости (9.3.4). Мы уже столкнулись с одним случаем, в котором это условие нарушается, когда aliO(tp) = 0. В этом случае Q-разложение принимает совершенно иной вид и в низшем приближении дает нелинейное уравнение Фоккера — Планка.
10.1. ОСНОВНОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА
Важный подкласс основных кинетических уравнений, нарушающих условие устойчивости (9.3.4), составляют такие уравнения, для которых
аі, і (ф) = 0. (10.1.1)
Согласно микроскопическому уравнению (9.4.1), это означает, что Ф (т) = const ^ ф (0). Небольшие отклонения бф(0) от начального значения приводят к таким бф(т), которые остаются постоянными, вместо того чтобы стремиться к нулю. Таким образом, макроскопические уравнения неустойчивы * и можно ожидать нарастания флуктуаций. Действительно, согласно (9.4.2), их дисперсия линейно возрастает, как в броуновском движении:
<?2> = а.г,о(ф)т. (10.1.2)
Если начальное распределение представляет собой дельта-пик, флуктуации приобретают тот же порядок величины, что и макроскопическая часть по прошествии времени порядка
т~Й/а2,0(ф). (10.1.3)
* По классификации Ляпунова такие решения называют «устойчивыми, но не асимптотически устойчивыми». В теории флуктуаций более естественно классифицировать такие случаи как устойчивые в соответствии со сноской в § 9.3.
259- После этого переходного периода Q-разложение, которое мы применяли до сих пор, нарушается и выполнить разделение (9.2.9) на макроскопическую часть и малые флуктуации становится невозможным.
С другой стороны, по истечении переходного периода (10.1.3) можно расчитывать на то, что удастся применить приближенный метод, основанный на том соображении, что P является медленно меняющейся функцией X с шириной порядка Q. Тогда в качестве новой переменной выбирают интенсивную величину x = X/Q и основное кинетическое уравнение (9.2.4) записывают в терминах этой переменной:
-f (Й) J { Фо (дг; -Г) + i- (P1 (дг; - г) + . . . } dr • P (х, t).
Раскладывая по Q-1 и учитывая (9.2.13) и (10.1.1), получаем ^fJl = Q-V (Q) [ - ± а1д (X) P +1 ? а2,0 (х) P | +
+ Q-3/ (Q) [-j ^r «,л (X) P —Jf |га„ (X) P-Ix a2il (X) Р] +
+ / (Q) О (Q-*). (10.1.4)
Сравнение с (9.2.16) показывает, что существует коренное различие. Основной член (9.2.16) отсутствует, и поэтому из (10.1.4) нельзя выделить уравнения для макроскопической части X. Другими словами, система уже не подвергается влиянию или смещению, вынуждающему ее эволюционировать в данном, а не в каком-либо Другом направлении. Оставшаяся эволюция P является просто результатом воздействия одних флуктуаций. Соответственно временной масштаб изменений умножается на Q-1 и эволюция происходит медленнее, чем в предыдущем случае (см. (9.2.14)). Поскольку P не является флуктуацией, обладающей острым пиком, коэффициенты а (х) нельзя разложить вблизи какого-либо центрального значения ср и в уравнении они остаются нелинейными флуктуациями. Первая строка (10.1.4) содержит основные члены, ее называют диффузным приближением:
= - J- Oclil(X) P Wp' (10Л 5>
где в отличие от (9.2.14) новая временная переменная
