Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
А+2Х = ЗХ, (9.3.6)
обладает по крайней мере одним макроскопическим устойчивым состоянием. Упражнение. Покажите, что (6.9.7) имеет одно неустойчивое решение. Все другие решения локально устойчивы, но не глобально. Упражнение. Определите некоторую «потенциальную функцию» V (х), полагая <*і(ф) —— У (ф)- Условие (9.3.4) для ф Ф ф* предполагает
V (ф) > V (ф*) и dtV (ф) < 0.
Покажите, что V (ф) является функцией Ляпунова **, которую можно использовать для доказательства глобальной устойчивости. Упражнение. Функция V удовлетворяет даже более сильному условию ***
V" (ф) > 0. Эти свойства V совместно означают выполнение (9.3.4). Упражнение. Для одношагового процесса макроскопического уравнения в обозначениях (9.2.6) имеет вид
ф = То(ф)—Ро(ф). (9.3.7)
9.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ШУМА
Позаботившись о членах порядка Q1^2 в уравнении (9.2.16), мы получим уравнение для П (?, т), являющееся корректным разложением по Q-1/2. Члены порядка Q0 имеют вид'
дЩ?, т) ' / ч д ?гг , 1 / ч<Э2П /п л їх
* F. Schlogl, Z. Phys. 253, 147 (1972). Н. К. Janssen, Z. Phys. 270, 67(1974); I. Matheson., D. F. Walls and C. W. Gardiner, J. Statist. Phys. 12, 21 (1975).
** La Salle and Lefshetz, Loc. cit.
*** F. Schlogl, Z. Phys. 343, 303 (1971).
245- Это линейное уравнение Фоккера — Планка, коэффициенты которого зависят от времени через <р. Это приближение мы назвали в §0.1 «приближением линейного шума». Решение уравнения (9.4.1), как было показано в § 8.6 гауссово*, поэтому достаточно определить первый и второй моменты Умножая (9.4.1) на ? и I2 соответственно, получаем
дт<Е> = о11,,(ф)<5>, (9.4.2а)
<ЭТ Фу = 2ai о (ф) ФУ + а2, „ (ф). (9.4.26)
Отметим, что дисперсия удовлетворяет тому же самому уравнению, что и
дх <<?2» = 2аї, о (ф) <<|2» + а2, о (ф). (9.4.2b)
Эти уравнения определяют оба момента при условии, что известны их начальные значения. Мы ставили себе целью решить основное кинетическое уравнение с начальным распределением в виде дельта-функции (9.2.8) и X0 взяли в качестве начального значения макроскопической части (см. (9.3.2)).
Понятно, что начальные флуктуации равны нулю:
<-Ьо = <Ьо = «!2»о = 0. (9.4.3)
Резюме. Итак, мы достигли поставленной цели — решить основное кинетическое уравнение с начальным условием (9.2.1). Мы получили решение в приближении линейного шума с помощью следующих трех шагов.
1. Решаем макроскопическое уравнение (9.3.1) с начальным условием (9.3.2), обозначаем решение ф(т,/х0).
2. Подставляем найденное ф(т/х0) в (9.4.2) и решаем уравнения (9.4.2) с начальными условиями (9.4.3).
3. Используем полученные результаты для нахождения среднего и дисперсии первоначальной переменной X:
<Х>т = Йф(т|х0) + й1/2<|>т, (9.4.4а)
«Х2»т = 0«|2»т. (9.4.46)
Для Z5 (X, /) берем гауссово распределение с этими средним и дисперсией.
Несколько пояснений позволяют прояснить ситуацию.
а. Из (9.4.4а), (9.3.1). (9.4.2а) получаем
дт <х> = OC1, о (<*>) + О(Q'1). (9.4.5)
Таким образом, в приближении линейного шума среднее описывается макроскопическим законом.
* Приближение линейного шума можно было бы также назвать гауссовым, однако следует понимать, что в Q-разложении гауссов характер выводится, а не постулируется.
246- б. Уравнения (9.3.1) и (9.4.2) можно решить, т. е. искать их решения с помощью некоторого количества интегрирований, как это уже упоминалось ранее в связи с (5.8.15). (Однако это утверждение уже не справедливо, если имеется большее число переменных.)
в. Нет необходимости выбирать начальное значение <р, совпадающее с положением начального дельта-пика хй. Допускается расхождение порядка Q-1/2, поскольку его можно учесть в качестве начального значения Тогда уравнения (9.4.2) нужно решать с этим новым ф и новыми начальными значениями <|> и <|2>, хотя, конечно же, <<?2» остается равной нулю.
г. Эта свобода особенно полезна при вычислении автокорреляционной функции флуктуаций в стационарном состоянии, т. е.
«х{<д)х{фу = <{х0 — Xs} \<x(t)>x,—**}>'. (9.4.6)
Для того чтобы вычислить в этом выражении условное среднее <х(фХо, нет необходимости реализовывать общую схему и решать
(9.3.1) с начальным условием ф(0) = хо. Вместо этого можно взять Ф = Ф* и решить (9.4.2а) с начальным значением
а-1/2 <Ьи = *„— Xs.
Это возможно, потому что значение х0, удовлетворяющее (9.4.6), отличается от х3 на величину порядка Q-1Z'2. Для t^ О, согласно
(9.4.2), в результате получаем
«* (0) X (/)»' = Q-1Cl (0) E (/)>' = Q"1 (O)2)5 ехр [— сч, „ I (q>*) I т] -
1 «2, о (ф*) ,
~ ~о" 01 - . * і exP [ 1 "і. о(ф )! т]. (9.4.7)
Мы получим общую формулу для автбкорреляционной функции флуктуаций (в приближении линейного шума) для устойчивого стационарного состояния. Отсюда следует, что можно выписать спектр флуктуаций для произвольной системы, не решая никаких специальных уравнений. Этот факт является основой обычной теории шума.
д. Обоснование a posteriori анзаца (9.2.9) состоит в том, что получающееся в результате уравнение (9.4.1), как нетрудно заметить, не содержит Q, так что нужные нам флуктуации имеют порядок, постулированный в (9.2.9). Однако, если флуктуации нарастают во времени, результат будет применим только в течение ограниченного времени до тех пор, пока флуктуации будут иметь тот же самый порядок величины, что и макроскопическая часть, несмотря на то что они умножаются на множитель Q1Z2, а не Q. Однако наше условие (9.3.4), гарантирующее устойчивость макроскопических решений, обеспечивает также ограниченность решений (9.4.2).
