Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 108

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 159 >> Следующая


= (9.5.136)

«пхпу>у = — 4ЩТ)<ПхУ- (9.5.13b)

Первая строка показывает, что флуктуации X те же самые, что в реакции (9.1.1) (ср. с (21.13)). Это можно было предвидеть, потому что в отношении X настоящая схема реакции та же самая.

Третья строка указывает на существование отрицательной корреляции между XhY, это является очевидным следствием того факта, что каждый раз, когда объединяются два атома X, величина пх убывает, а пу—нарастает, и, наконец, (9.5.136) показывает, что дисперсия tiy имеет промежуточное значение, лежащее между значением, принадлежащим распределению Пуассона, и значением, принадлежащим tix.

В качестве второго следствия уравнения для моментов получим автокорреляционную матрицу. Используя (9.5.10а) и (9.5.12), находим сначала

3

<1 (0) I (*)>' = <?V е-« = «г",

<л (0) I (/)>' = <Т|?>' е-2' = -

Затем запишем решение (9.5.106):

„. e-2t_e-?< <т|>* = <Л>ое-р< + <6>о ?_2—<

253- что приводит к

<п (0) П ту = (3 + 2?)« e-?t__2L_ e-x-e-?'

' 4? (2-(- ?) 4(2 + ?) ?—2 '

<-?/0) n (t)y - _=2L_ e-?< + - a

4 (2+ ?) ^ 4 a ? — 2 •

Эти корреляции содержат два времени релаксации. Первое из них равно 1/2 и связано со скоростью исчезновения молекул X. Второе равно 1/? и связано со скоростью исчезновения молекул Y. Упражнение. Постройте фазовые кривые (рис. 29) и изобразите в (ф, ^-плоскости кривые, на которых ф = 0 и 1)5 = 0, обозначив на них направления решений в четырех частях плоскостей. Упражнение. Найдите аналитическое выражение для фазовых кривых уравнений

Упражнение. Для решения уравнений (9.5.11) требуется диагонализация 3 X 3-матрицы (что в этом примере оказалось тривиальным), однако собственные значения всегда можно найти из уравнений (9.5.10). Как? Упражнение. Исследуйте частный случай ? = 2. В частности, найдите спектральную плотность флуктуаций величины пу. Упражнение. Проделайте такие же вычисления для химической реакции

A--X1 X —> Y, X j-Y —> В. Упражнение. Сделайте это для реакции *

А —»• X, X + Y —> 2Y, Y —> В.

Упражнение. Популяция поражена эпидемией. Имеется т здоровых индивидуумов и п больных. Уравнения, описывающие скорости, имеют вид m = ?Q—утп/Q, n = ymn/Q— an. Интерпретируйте эти уравнения. Постройте основное кинетическое уравнение. Найдите дисперсии и ковариации в стационарном состоянии **. Упражнение. Те же самые вопросы для популяции из т самцов и самок, описываемых макроскопическими уравнениями

m = ?n — am— ут(т + п)/й, п = $п—an—уп(т + п)/Q. Упражнение. Для двойной автокаталитической реакции с двумя переменными

А+ X —с X + Y, X4-Y —> Y уравнения, зависящие от времени, можно решить явно.

9.6. ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ

В этом параграфе мы рассмотрим высшие порядки, выходящие за рамки приближения линейного шума. Они добавляют к флуктуа-циям члены порядка Q-1 относительно макроскопических величин, т. е. порядка отдельной частицы. Они также модифицируют макроскопическое уравнение, добавляя в него члены, имеющие тот же

* R. F. Fox, Proc. Nat'l Acad. Sei. USA 76, 2114 (1979).

** Макроскопические решения проанализированы в работах: Н. W. Heth-cote in: Mathematical Problems in Biology (Lecture Notes in Biomathema-tics 2; P. van den Driessche ed., Springer, Berlin, 1974).

254- порядок, как и те, что мы несколько преждевременно использовали в (5.8.12) и (9.4.8).

Очевидно, что эти эффекты не важны для большинства практических задач с шумом, но в двух случаях ими пренебречь нельзя. Во-первых, они дают нам информацию о том, насколько нелинейные члены в макроскопическом уравнении влияют на равновесные флуктуации, в частности они позволяют сделать вывод о том, насколько кривизна вольт-амперных характеристик электронных устройств влияет на имеющийся в них шум. Во-вторых, они оказываются существенными, когда наблюдаются одночастичные события, например ток, связанный с рекомбинацией в фотопроводниках (см. § 8.1). Если читатель не интересуется этой темой, мы рекомендуем ему пропустить настоящий параграф, потому что имеющиеся здесь выкладки достаточно сложны.

Рассмотрим уравнение (9.2.16) для эволюции П(?, т). О членах порядка Q1'2 мы позаботились в § 9.3, потребовав, чтобы ср удовлетворяло уравнению (9.3.1). Члены порядка Q0 были учтены в (9.4.1), а сейчас мы добавим высшие порядки, записав явно члены порядка Q"1:

Все коэффициенты являются функциями, зависящими от ф(т), а штрихами обозначены производные от функций по своим аргументам.

В то время как приближение линейного шума приводит к линейному уравнению Фоккера—Планка (9.4.1), высшие степени по Q-1/2, как мы сейчас увидим, ведут к следующим трем модификациям.

1. Они добавляют более высокие степени к коэффициентам, так что утверждение о том, что первый коэффициент линеен, а второй постоянен, уже становится несправедливым.

2. В то же время они добавляют старшие производные, поэтому уже нельзя записать уравнения Фоккера — Планка, в котором сохранена полная функциональная зависимость от Oc1 и ос2, но отброшены высшие производные.

3. Высшие порядки в моментах перехода, т.е. OClil, Ocii 2) ..., аг<, . . ., связанные с (D1, Ф2, . . ., входят последовательно. В частности, OCiil добавляет к первому коэффициенту член, не зависящий
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed