Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Наше рассмотрение является совершенно общим, хотя ему и присущи обычные ограничения метода возмущений. Однако трактовка нелинейности гравитационного поля как возмущения представляется нам достаточно оправданной, поскольку, как мы знаем, линейное приближение теории Эйнштейна, которая содержит в себе теорию тяготения Ньютона, описывает наблюдаемые факты с очень высокой степенью точности. Это показывает, что нелинейность может дать для наблюдаемых эффектов поправку лишь второго порядка.
В настоящей статье при ссылках на формулы в нашей предшествующей работе [1] мы всюду будем пользоваться следующими обозначениями: формулу (1) работы [1] будем обозначать как (I, 1), формулу (2) — как (I, 2) и т. д. 13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 343
§ 2. Координатные условия для уравнений гравитационного поля
Как отмечалось выше, мы будем использовать координатные условия де-Дондера [2], которые задаются в виде
^ = о. (1)
ох
Используя условия (1), Папапетру [4] сумел записать уравнения гравитационного поля в крайне простой форме. В этом параграфе мы кратко изложим эту работу Папапетру и обсудим ее физический смысл.
Плотность лагранжиана для эйнштейновского гравитационного поля может быть взята в виде
«--Mmш-ині»- <2>
Рассматривая S как функцию ga? и gJf = д^/дх11, получаем для плотности канонического псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля выражение
HJ--^fl?-** 8. (3)
Мы можем далее получить симметричную плотность энергии-импульса методом Бе л инфанте, который мы изложили в § 5 работы [1].
Рассмотрим бесконечно малое линейное преобразование
— 8^6o)ava:v, Где Scoxv= — o(ov я (4)
и определим величину Q выражением
fnv, Q = _ 69a? _ о _ PavftP^
1 ~ 4vaey" 9 8 9 (5)
Тогда симметричная плотность энергии-импульса O^v будет иметь вид
(Г = ^ tV _ I (f(lV, Q + f01». V + f0V, ^ (6) 344
С. Гуппіа
а плотность момента количества движения будет задаваться формулой
О = ^ QVQ _ ^v едо = ^lieVX t0 _ xveM t0 + ||1V, 0 (7)
Прибавляя к (5) симметричную тензорную плотность энергии-импульса поля материи 8^?, для полной плотности энергии-импульса системы получаем
Oliv=8м (%i+tl) - і ± (Г-0+Г -v+г}V' (8)
Для упрощения (8) заметим, что [5]
П + % = (9)
где
(Ю)
Кроме того, согласно (5) и (10), имеем
fuv, 0 = _ 2 (A0uevX _ ^V*). {П)
Используя (9) и (И), можно записать формулу (8) в виде
+ ev? (Щ* + - 8«? (Ю|Р + ЯЩ (12)
Вычисляя из (2) и (10) и подставляя в формулу (12), получаем
г)2
_ ^ ^ (flJAV8a? __ Qjxa8v? + ga?8nv __ flav8jA?)# ( J 3)
Используя дополнительные условия (1), приходим к следующему простому результату:
дх дхї V }
Так как дополнительные условия (1) приводят к простым уравнениям поля (14), а также сводятся к дополнительным условиям Эйнштейна (1,12) в линейном приближении, разумно признать их приемлемыми. 13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 345
Уравнения поля (14), полученные с помощью лагранжиана (1), подобны уравнениям электромагнитного поля. Разница состоит лишь в том, что вместо 4-векторов All и Zja имеем теперь симметричные величины Q^av и Q^v соответственно. Итак, для «свободного» гравитационного поля мы можем принять уравнения
-а»-» <'»>
и считать, что полное взаимодействие обусловлено тензором который представляет собой плотность энергии-импульса полной системы, включая само гравитационное поле. Это показывает, что выбор линейного поля (15) как свободного гравитационного поля просто означает, что мы определяем взаимодействие гравитационного поля со своим собственным псевдотензором энергии-импульса на тех же основаниях, как и его взаимодействие с тензором энергии-импульса поля материи.
В работе [1] было установлено, что дополнительные условия (1,12) лишь приблизительно совместны с уравнениями поля (1,11). Здесь же, вследствие закона сохранения
<1е>
(1) и (14) совместны точно.
§ 3. Разложение плотности лагранжиана гравитационного поля в плоском пространстве
Будем разлагать плотность лагранжиана для эйнштейновского гравитационного поля в ряд по константе связи к и покажем, что это разложение можно рассматривать как бесконечный ряд в плоском пространстве. Для этого, как это уже делалось, мы полагаем
guv = env _ XYnve (17)
Тогда в силу соотношения
10*v Vv 1 = ^-^ = 2 (18) 346
С. Гуппіа
получаем
g = _ і + +_ yvvyXQ + о (хз) (19)
где тензор Eiliv является взаимным тензору 8*lv. Чтобы получить разложение для ^jliv, заметим, что
^V^^f1= -(-g)-1/2MHHop(o,v). (21)
Но легко показать, что
Минор (Qjav) = - Env + Xfnv6a?Ya? - xena^v?Ya? -
-1 + \ >c28MV8aX8?0Y«?Y^ + O (xs). (22)
Следовательно, Sliv = ?jiV - у xeHvea?Ya? + X6na6v?Ya? + ^2eajAexve?oYa?Y;i0 -- Y >C28ajA8?v8XQYa?YX0 + 4 *2^vea?^QYa?YX0 -
Теперь для разложения плотности лагранжиана (2) используем соотношение
и
grJAV = ( __ g)-1/2g»AV = 8^v — XYjav + ^ X8^v8o?Ya? -
- \ X2EaPY^Yjiv + 4 X2B^eaoepxYapYx +
+ \ x2e^8a?8X0Ya?Y^ + О (х3), (20)
Іх2е^єахєр0у^° + О(х2).
