Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
(23)
(24)
и после некоторых упрощений получим
-2
dSll^gox dg ^dgao dgbQdga} дха дх* д^1 dxv дх» dxv '
(25) 13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 347
Используя разложения (17), (20) и (23), приходим к выражению
О - 1 Г 2е « OY?,i d^ - E^e е « ^ 4-
+T dSd-C+xe^v SS'
- J xW ^ дх, +^W?oY дху dx? +
+ KEfVeopetuE11eY^ SS"
- 2XE^8OTea,8paY°P SS+0 (X2) ] • (26)
Согласно (1) и (17), дополнительные условия будут теперь записываться в виде
дуHV
дх"
¦¦0, (27)
что позволяет упростить (26). Так, например, первый член в (26) может быть записан в виде
і oY<*aYov_ ±.( і
Поскольку первый член в правой части (28) представляет собой дивергенцию, а второй член в силу (27) равен нулю, первый член в (26) мы можем опустить.
Тогда предыдущий результат можно записать в более компактной форме, используя обычные обозначения для плоского пространства, т. е. считая, что греческие индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4 вместо 1, 2, 3, 0, где х4 = ix0. Тогда отпадает необходимость различать кова-риантный и контравариантный тензоры Минковского и Eiliv, и все индексы можно писать внизу. Таким образом, используя обозначения для плоского пространства и опуская по указанным выше соображениям первый член в (26), мы можем записать (26) и (27) соответственно в следую- 348
С. Гуппіа
щем виде:
Q= 1 Г aVду дУцу 1 aVgg aV?? , ~ 4L дх^ дх^ 2 дх^ дх^
т yHv дх^ dxv 2 Vv Qxvl dxv
+ дха +xV dXa
-4?? + ^], (29)
^ = O. (30)
Можно отметить, что в выражении (29) сумма членов, не зависящих от х, совпадает с плотностью лагранжиана (1,16).
§ 4. Взаимодействие гравитационного и электромагнитного полей
Чтобы показать, как учитывается взаимодействие гравитационного поля с другими полями, рассмотрим здесь взаимодействие гравитационного и электромагнитного полей.
При наличии гравитационного поля уравнения электромагнитного поля имеют вид [6]
(31)
-з". ?-°. <32>
(33)
где
?Г = V~g Zrtiv1 W = V~g
Полную плотность лагранжиана для гравитационного и электромагнитного полей можно взять в виде
= S +S Л, (34) 13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 349
где S задается формулой (2), а
Sr= -Il^f11Vliv=-IlZ^rtVOFxeFliv. (35)
Теперь мы имеем Av= (- g)~1/2gvX = rf + xeaaev? у«т° + О (х»), (36) так что
/7^ = 8va ^ - Єдсг ^ + X8aa8v? ^ir (у"Щ0) -
- ? (Ya?3la) + О (X«). (37)
Используя формулы (17), (20) и (37), мы можем разложить йн в ряд:
2r=—J ^ E^8QV _ XE^yOV _ X8OVyX^ -J- .I. xe^eO^a?V®0") X ч ґдка d<aa ^/а?? dvfi \ ,
х ^ ^ 8aO ^ 8^O+
^L дх»дхаУ V ' ?v дх»дх*
]+0(x»). (38)
Члены в квадратных скобках в (38) можно записать в виде
/
+ Х дГ5 ^1" ^^ + Расходящиеся члены. (39)
Первый член в выражении (39) обращается в нуль в силу условия Лоренца 391а/3л:а —О, второй же член можно включить в 0(х2), так как
gHV^a
Таким образом, выражение (38) может быть сведено к более 360
С. Гуппіа
простой форме:
Sr = — ^r (^eOv-XE^Yov- XEOVy^ +-І-X8^80Vea?Ya? X
х С ^ 8^ - 8aO C^ 8?0 - ^ 8pO + 0 (х (40)
Используя обозначения для плоского пространства, принятые в § 3, выражение (40) можно записать в виде
S? = —T Vjxv - | ><Ya? (^сЛ - oa?^v) + О (х2), (41)
где, согласно введенным обозначениям, Fliv = OWvIdxll — — OWllZdxv заметим, что член взаимодействия первого
порядка в (41) будет -^KylivTlivj где Tliv — обычный
тензор энергии-импульса электромагнитного поля в плоском пространстве. Этот результат согласуется с (1,54), если учесть, что след Tliv равен нулю.
§ 5. Квантование полного гравитационного поля
Как уже указывалось, мы можем считать, что линейная часть гравитационного поля соответствует «свободному» гравитационному полю; нелинейные же члены можно рассматривать как прямое взаимодействие между гравитонами. Таким образом, полагая в (29) х = 0, мы получаем плотность лагранжиана свободного гравитационного поля. Эта плотность лагранжиана точно совпадает с (1,16). Следовательно, общий метод квантования, изложенный в работе [1] остается в силе для свободного гравитационного поля. Из других результатов мы можем еще использовать определение вакуума (1,40), перестановочные соотношения (1,23) и (1,24) и вакуумные средние значения
(1,58).
Переходя к рассмотрению полного гравитационного поля, мы должны исходить из полной плотности лагранжиана (29). Тогда обычным путем можно перейти к представлению взаимодействия, рассматривая линейную часть как свободное гравитационное поле, а нелинейную — как взаимодействие. В представлении взаимодействия мы можем снова использовать перестановочные соотношения (1,23) 13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 351
и (1,24) и вакуумные средние значения (1,58). Аналогичным же образом мы можем поступить с взаимодействием гравитационного и электромагнитного полей, прибавляя к (29) плотность лагранжиана (41) и трактуя нелинейную часть как взаимодействие.
Нужно также заметить, что дополнительные условия для полного гравитационного поля в гейзенберговском представлении по-прежнему задаются соотношениями (1,56). Следовательно, согласно уравнениям поля (14), величины dVuv/d^v всегда удовлетворяют волновому уравнению для плоских волн:
