Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
(28)
Это приближенно имеет место при условии A2 — A1 < A1, т. е. если произведение ускорения на расстояние между телами мало. Это ограничение свойственно ньютоновскому случаю. Интересно отметить, что эти массы не в точности равны и противоположны по знаку, однако в этом нет ничего неожиданного, поскольку их ускорения должны быть неравными друг другу в равномерно ускоренной системе.
4.
Построенная в предыдущем параграфе метрика обладает сингулярностью при г = 0, Z < 0. В этом нет ничего удивительного, так как метрика равномерно ускоренной системы (ф = ф0) также содержит такого рода сингулярность, которая, однако, является чисто искусственной и устраняется при переходе к метрике (т, а, б). Возможно ли подобное устранение сингулярности, если Ф = Ф0 + Фі + Ф2?
Прежде всего заметим, что если ф = ф0, то полное пространство (/, z, г, б) соответствует области z> 0 в пространстве (t, z, г, б) и четверти пространства-времени, а именно ? > |т| в пространстве (т, а, б). С помощью тех же самых формул преобразования
r = rz, Z = ± (Z2-г2), t = t (29)
мы приходим теперь к метрике
ds2 = ^e2Ht2 - eW-V (dr2 + dz2) - r2e-2 W, (30)
где явно появляется сингулярная часть метрики и где мы имеем дело лишь с z>0. Легко видеть, что
1|)(Z, г) = ф(2,г)-ф0(2, г) (31)
является регулярной функцией Z и г. Кроме того, нетрудно показать, что для малых z функция t|) может быть 11. Отрицательная масса в общей теории относительности 321
разложена в степенной ряд по Z2 с коэффициентами, зависящими от г, причем эти коэффициенты сами могут быть разложены в степенные ряды по г2 для малых г. То же самое имеет место для функции
б (z,r) = o(?,0-o0(z, г). (32)
Производя замену переменных
T = Z^sh*, ? = ze*chZ, а = (33)
мы приходим к следующей метрике:
ds2 = dx2 - dt2 - (т dx-? dl)2 -- 2v da (т dx — ? -Xdo2- a2dO2, (34)
где коэффициенты V, А, являются функциями только от а и ?2 — т2. Заметим, что эта метрика инвариантна по отношению к любым (?, ^-преобразованиям Лоренца; это обстоятельство указывает на то, что мы все еще имеем дело со случаем постоянного ускорения, хотя уже не находимся в плоском пространстве-времени.
Благодаря соотношениям (33) метрика (34) определена лишь для ?>|т|. Что происходит на этой границе и за ней? Из структуры (34) явствует, что эта граница состоит из частей двух изотропных геодезических линий. Кроме того, довольно трудоемкое сравнение коэффициентов дает выражения для р,, v, X через г|>, diJVdz, Зг|:/дг и б. Исследование этих выражений показывает, что в силу упомянутого выше поведения г|> и б при малых z, три новые величины могут быть разложены в ряды по степеням I2-X2 вблизи границы, причем коэффициенты при членах в этих рядах являются функциями от а, которые в свою очередь могут быть разложены по степеням а2 вблизи а = 0. Следовательно, метрика (34) вполне регулярна на границе.
Так как границей является изотропная геодезическая, то продолжение метрики за нее не определено однозначно. Было бы крайне заманчивым найти такое продолжение метрики (34), которое не содержало бы сингулярностей и материи и заключало бы в себе все пространство-время. Математические трудности, связанные с нахождением такого продолжения, по-видимому, весьма серьезны и до
21 Заказ Ко 738 322
Г. Бонди
сих пор еще не преодолены. Интересной и важной задачей является также доказательство существования такого продолжения, однако эта задача также пока еще далека от своего решения.
Тем не менее было получено некоторое решение иного характера. Если предположить, что метрика (34) сохраняет свою форму при всех т и то получается метрика, симметричная относительно т = 0 и относительно ? = 0. В области т > I?I коэффициенты зависят только от а и от временно-подобной переменной T2-S2 (аналогично обстоит дело в области |?|< — т), в то время как при — ?>|т| следует применить зеркальное отображение условий при ?>|т|; тем самым мы снова будем иметь дело с двумя равномерно ускоренными телами с противоположными знаками масс. Единственный вопрос, который следует решить, чтобы установить законность этого типа решения, это вопрос о том, существует ли метрика пустого пространства этого типа при т>]?|, переходящая с требуемой степенью точности в оанее полученную нами метрику при т = ?>0.
Прежде всего заметим, что преобразование х = Tee Chz9 ? = Te8 ShZf a = Re~*f
где
8 = 8 (TfR) (35)
приводит к метрике
ds2 = е2<ч-в> (dT2 - dR2) - T2e2edZ2 - R2e~2*dQ2f (36)
где
T1 = T1 (T1 R)
при условии, что щ V, X в (34) надлежащим образом связаны с 8 и T1 в (36). В действительности оказывается, что выражения для (г, v, X через 8 и T1 совпадают с их выражениями через г|э и б при условии, что г|>, б, г, Z2 и z(d/dz) заменены соответственно на 8, T1, Ry -T2 и Т(д/дТ). Таким образом, мы нашли метрику, достаточно гладко переходящую в нашу исходную метрику, путем продолжения промежуточной метрики (34) за границу. 11. Отрицательная масса в общей теории относительности 323
Поведение (36) вдали от границы описывается в пустом пространстве следующими уравнениями: d2e , 1 08 дЧ , 1 де
