Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
363
ортогональных реперов), содержащий 16 переменных поля и 16 канонически сопряженных плотностей импульсов при 14 связях первого класса. Пирани и Шилд [3] и Бергман и др. [И] исходили из 10 переменных gjnv и 10 канонически сопряженных им плотностей импульсов, подчиняющихся 8 связям первого класса. Недавно Дирак [12] ввел в качестве связей координатные условия. В его формализме число канонически сопряженных переменных поля равно 12, а число связей второго класса — 8.
Во всех указанных методах является общим тот факт, что удвоенное число степеней свободы минус удвоенное число связей первого класса и минус число связей второго класса равно 4. Таким образом, обычно считают, что число «динамических» степеней свободы гравитационного поля равно двум, т. е. совпадает с числом степеней свободы электромагнитного поля. Это предположение совпадает с выводом Паули и Фирца [13] относительно линейных полей с произвольным ненулевым спином, распространяющихся со скоростью света.
Прежде всего обсудим те формулировки, которые включают связи первого класса. Во всех этих случаях первоначальное число канонических переменных поля ограничивается числом связей. Некоторые из этих связей возникают вследствие того, что определяющие импульсы соотношения
= ;Д- (2.1)
^УAi о V 1
не могут быть разрешены относительно производных по времени от уа,о- Вместо этого существуют соотношения между ял, полностью независимые от всех у АО. Эти соотношения называются первичными связями. Некоторые из производных по времени от первичных связей, согласно каноническим уравнениям поля, не обращаются в нуль тождественно, но могут быть обращены в нуль с помощью дополнительных требований. Эти последние называются вторичными связями. Если в первичные связи подставим выражения (2.1) для ял, мы получим тождества, тогда как вторичные связи представляют собой такие комбинации уравнений Jlar-ранжа — Эйлера, которые не содержат вторых производных по времени у Am- Комбинации канонических пере- 364
ft. Бергман и А. Комар
менных поля уа, ла , удовлетворяющие всем связям, образуют подпространство фазового пространства теории, которое мы будем называть гиперповерхностью связи.
Поскольку все эти связи относятся к первому классу (т. е. скобки Пуассона с учетом этих связей обращаются в нуль), бесконечно малые преобразования, производимые ими, не выводят за пределы гиперповерхности связи. Однако они переводят точки гиперповерхности связи друг в друга. Следуя стандартной терминологии, мы будем называть изображающую точку, взятую на гиперповерхности связи, допустимым полем. Компоненты этого поля, разумеется, определены только на трехмерной гиперповерхности физического пространства-времени. Если допустимое поле на некотором отрезке времени меняется согласно уравнениям поля общей теории относительности, то получающийся при этом набор функций, определенных в четырехмерном пространстве, будем называть решением уравнений поля. Будем называть два решения эквивалентными, если они могут быть переведены друг в друга путем преобразования координат. Будем называть также эквивалентными два допустимых поля, если они приводят к эквивалентным решениям.
В рамках этих определений, бесконечно малые преобразования, соответствующие линейным комбинациям связей (с переменными коэффициентами), переводят допустимые поля в эквивалентные. Таким образом, генераторы, подчиненные связям, дают возможность покрыть всю гиперповерхность связи взаимно исключающими классами эквивалентности допустимых полей. Эти классы эквивалентности являются точками нового так называемого редуцированного фазового пространства.
Сохраняя первоначальный смысл канонических преобразований и генераторов (т. е. первоначальное определение скобок Пуассона), мы утверждаем, что любой генератор бесконечно малого канонического преобразования, который переводит эквивалентные классы друг в друга, есть функция (функционал), определенная на редуцированном фазовом пространстве. Другими словами, мы утверждаем, что каждый такой генератор имеет постоянное значение внутри данного класса эквивалентности. Доказательство очевидно. Предположим, что бесконечно малое преобра- 14. O Koaktnoouktiu гравитационного поля
365
зование переводит точку а, принадлежащую одному классу эквивалентности, в точку ft другого класса эквивалентности, а другую точку а', принадлежащую тому же классу, что и а, в точку Ь'. Согласно предположению, ft и ft' принадлежат одному классу эквивалентности. Однако операцию перехода от точки а! к точке ft' мы можем выполнить следующим образом: сначала перейти от а' к а, затем к ft и, наконец, к ft'. Генераторы для первого и второго преобразований равны нулю; следовательно, генераторы переходов а—>Ь и a'-^ft' имеют одно и то же значение.
Переменную, определенную на редуцированном фазовом пространстве, уместно назвать константой движения. Это определение содержит в себе как обычное требование сохранения переменной во времени, так и требование инвариантности этой переменной по отношению к преобразованию координат. Ввиду того факта, !что в общей теории относительности изменение во времени определено лишь с точностью до преобразования координат, только инвариантные функционалы могут быть константами движения во всех возможных системах координат. Таким образом, мы приходим к тому, что константы движения (рассматриваемые как генераторы) переводят классы эквивалентности друг в друга. Другими словами, они производят бесконечно малые канонические преобразования в редуцированном фазовом пространстве.
