Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому дуцч/дху, всегда могут быть разделены на положительно- и отрицательно-частотные части и дополнительные условия (1,56) сохраняются с течением времени. Дополнительные условия в представлении взаимодействия можно получить обычным путем.
В заключение нашего исследования остановимся на некоторых приложениях изложенного здесь метода квантования гравитационного поля. Мы видели, что полное гравитационное поле можно трактовать с помощью изложенного метода в любом сколь угодно высоком приближении. Однако в тех приложениях, которые мы собираемся рассмотреть в следующих главах, мы будем для простоты использовать лишь линейное приближение гравитационного поля. Более полный обзор приложений настоящего метода будет дан в отдельной работе, где будет учтено также влияние нелинейных членов.
§ 6. Собственная энергия фотона
Сначала рассмотрим проблему гравитационной собственной энергии фотона, поскольку соответствующей проблеме в квантовой электродинамике уделяется много внимания. Как уже отмечалось, мы будем здесь для простоты использовать лишь линейное приближение гравитационного поля.
Согласно (1,54) или (41), плотность лагранжиана электромагнитного поля, взаимодействующего с линейным352
С. Гуппіа
гравитационным полем, задается выражением:
/_ 1 и 1(?2 1 /aY^y ^v 1 ду ду\ _ L - - T t^ - 2 V 4 Д а^ а^ 2 dxj
- і . (42)
Обозначая канонически сопряженные величины для Ynv > Y и A11 соответственно через яцу, я и jfy имеем
1 0Ynv _ _ 1 ду моч
"i= - IFii + ^yilFji - іщцрц +1Ы (Yaa - 2Y44> Fі4,
IdAv
Получая обычным образом нз (42) плотность гамильтониана и выражая ее через переменные поля, их пространственные производные и канонически сопряженные величины, мы получаем
H = Hq + HR + Hb 3>,
где Hq и Hr- плотности гамильтониана соответственно для гравитационного и электромагнитного полей, а Явз. — плотность энергии взаимодействия, имеющая вид
явз. = - у ^YaciFlj + Y KyjkFijFik - /Xy4iKiZ7yi + + T7i (Yaa - 2y44) K2i - у KykiKiKk + {x2 (Yaa - 2уи)2л\ -
- Y x2YiJ (Yaa - 2у44) + Y X2Yij-Y^Jii -
- 4 *'x2Y4; (Yaa - 2y44) TtiFji + Zx2y4iYki^kfji -
-у X2Y4iY/іЛі + ОМ. (45)
Это выражение задает плотность энергии взаимодействия в гейзенберговском представлении. В представлении взаимодействия плотность энергии взаимодействия будет иметь тот же вид, что и (45), с той лишь разницей, что пере-13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 353
менные поля и канонически сопряженные им величины будут относиться к свободным полям. Таким образом, переходя к представлению взаимодействия и выражая канонически сопряженные величины через переменные поля, получаем1)
Явз. = у KYa? (^ац^ц — -J o ?/^v ^ —
- -g- >«2YaaY??f4v/74v - у ^2YavY? ^a^? +
+ \ >«2YavY??/74a/74v - Y ^2Ya4Y?4/7na/7n? +
+ \ K2Ya4Y??^a p^ + ^2YanY?4f 4a^ + O (x3).
(46)
Теперь, согласно Дайсону [7], S-матрица для взаимодействия гравитонов с фотонами будет иметь вид
OO
S= 1+(-0 ^ dxHB3.(x) +
— со
OO OO
+ J (- O2 J dx ^ dx'P {Явз. (*), Hm. (х')}. (47)
-OO -OO
Для членов второго порядка S-матрицы, дающих вклад в собственную энергию фотона, имеем
OO
^фотон. — — ^ ^ (IxH2 (х) —-
— OO
OO OO
dx\ dx'P [H1(X), H1(Xf)], (48)
—OO —- зо
где через H1 и H2 обозначены слагаемые, включающие первые и вторые степени к в (46). Чтобы вычислить Р-произведение в (48), мы должны определить вакуумные
Напомним, что для простоты мы пользуемся одними и теми же обозначениями для величин в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия.
23 Заказ № 738354
С. Гуппіа
Средние ДЛЯ Р-ПрОИЗВЄДЄНИЙ, включающих свертки ПО Yinv или по Fjav. Из (1,23) и (1,58) следует, что
(Р (Ynv (*), yXQ (х')))0 - у (O^OVQ + Mvx) DF (X - *'), (49)
где Dp (х — Jt') — фейнмановская сингулярная функция для гравитационного поля. Для электромагнитного поля мы также имеем
/р/MyW ау*')\\ _ \ V ^ ' «ч Vo-
= а* (р (aV (х), Aq (Х')))0 + 'SvA4S^4S (Х - X) =
(Р (/>(*), fx?(*')»o =
_J_o дЮр(х-х') , 1 о (де — *')
" 2 °vo d^d^ 2 ^ dxvdx'Q
_ J_ о дЮр(х-х') _ J_ • d2?>r (л: — *')
2 0v^ а^ 2 0^o дх'к + + /б QSjui4S^4S (х — + /Sjla^Sv4Sq4S (х — х) — - /Sv^Sja4S04S (х - xf) — /SjaoSv4S^4S (х — х'). (50)
Теперь легко проверить, что члены в (50), включающие S-функцию, обусловливают вклад (48), который точно компенсирует вклад H2. Известно, что такая компенсация, действительно, всегда имеет место. Таким образом, вместо (48) можем взять
- Oxtldx, ^ ^ -T0VQ dX?dx'K
f/Sv Six4SmS (х — xf)
откуда следует
с»
•фотон. —
2
^ dx ^ dx'P [H1(X), H1(Xt)), (51)
—оо —оо
при условии, что мы принимаем также
(Р F 0(х')))0-
_ 1 /» дЮр(х-х') , х дЮр(х-х') - 2 dx? дх'% + 0^ dxv dx'Q
» дЮр(х-х') . д2Рр (х — х')\ VX dxv дх'х )¦
б-
-б,
(52)13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 355
Подставляя значение H1 из (46) в (51), находим
оо со
S(J)OTOH. = — -g 5 dx \ dx P { (Yav W ^a M ^v M ""
-OO -OO
- J Yaa (-?) Fllv (х) Fflv (X)^ , (j?Q (-?') /rXP (-?') /7XO (*') ~ -\vm(X')Fm(X')Fm(X')^)} . (53)