Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
(4)
Следуя Эйнштейну [3], получаем теперь линейное приближение для указанных выше уравнений поля, полагая
gllV = Є jj,V + ^Ajjlv, (5)
где 8JHV — значения guv для метрики Минковского; вторыми и высшими степенями к пренебрегается. Используя обычные тензорные обозначения в плоском пространстве-времени1), уравнения (1) и (4) можно записать в виде
?•A -CJSa--J-^O +
U ^v V дх„ дх, дх,. дх, J +
^?-+ 6^v (-? - D2Au) = xT,V( (6)
0V _ X ^Avx
Согласно Эйнштейну, можно также выбрать координатные или дополнительные условия в виде
так, чтобы (б) свелось к уравнению
D2Aliv-|o,wD2Au = x7Vv. (9) Удобно положить
Amv = ymv - у 6|xvyxv (10)
г) В качестве пространственно-временных координат выбираем хх, Xf, х„, it. 328
С. Гуппіа
Таким образом, уравнения (9), (8) и (7) можно соответственно записать в виде
D2Ynv = XTliv, (11)
^7 = 0' (12)
^v _ XaYvbr х ^yu
~5х~ "" У 1 v^ ~~ T "a^ 7 vv- і
Из указанных выше уравнений следует
, _ 1 Г aYbO aYbO 1 aYbb aYoo ^V - у L
дхй a*v 2 а*д a*v
1 * Zr aYbO aYbO 1 aYbb aY,
J ( aYbo aYbo 1 aYbb aYoo Л1 /1/f,
2 j^v • (14)
В частности, для плотности гамильтониана мы получаем
H = I [^Ybo aYbo aYu^Yoo L
dt dt 2 dt dt
, ІГ^ІМ„I^Yu^YооЛІ
1" 2 V ajffl a*a 2 a*a /J- ^u'
Уравнения (II) — (ІЗ), описывающие линейное гравитационное поле, так просты, что может показаться неожиданным, что они должны рассматриваться только как приближение более сложной теории. Поэтому следует отметить, что дополнительные условия (12) совместны с уравнением поля (И) лишь приближенно; для (И) и (12) имеем соответственно
Эти уравнения согласуются друг с другом лишь в первом приближении. С другой стороны, как будет показано в последующей работе, для точного нелинейного гравитационного поля дополнительные условия точно совместны с уравнением поля. 12. Квантование гравитационного поля. Линейное приближение 329
§ 3. Квантование гравитационного поля
Плотность лагранжиана для линейного гравитационного поля может быть взята в виде
и~~ 4V ^ дхх 2 дхх dxxJ> 11°'
где Yiliv и у нужно рассматривать как независимые переменные. Отсюда обычным путем приходим к уравнениям поля
D2Yjxv = O, D2Y = O (17)
и плотности гамильтониана
И_ 1 Г aYnydYnv Idyd у,
2 L dt dt 2 dt- dt + 2l**x 2 dxJl ' 1 '
Чтобы выражение (18) согласовалось с (15), потребуем с помощью дополнительных условий, которые будут обсуждены в следующем параграфе, равенства среднего значения у среднему значению Ywa- Но для целей же квантования мы рассматриваем у как независимую полевую величину, так чтобы можно было легко разделить вклады различных компонент в гамильтониан (18).
Теперь мы должны получить перестановочные соотношения для Yjav И у, уЧИТЫВаЯ, что Yjxv = Yvja- Для этого заметим, что канонически сопряженный импульс для уи задается в виде
я 01 - 1 дуп (\9\
Пп - д (Oy1Jdt) - 2 dt ' ^
Поэтому перестановочное соотношение
[Yn (г, t), Jtu (г', <)] = »( г-г') приводит к соотношению
[ Yn(M). (^(r\o)]=2tt(r-r-).
Используя обозначения Швингера [4], можем записать
[Yn (X)t Yn (*')] = 2ID(х-х'). (20) 330
С. Гуппіа
С другой стороны, поскольку Yi2 = Y2i» получаем
тг dL _ дуі2 /о і \
1112 - а (ауіа/а/)"" а/ ' ^4
так что перестановочное соотношение в этом случае имеет вид
[Y12W, Yit(x')] = iD(x-x'). (22)
Согласно (20) и (22), перестановочные соотношения для Yjj1v могут быть записаны в виде
[YiiV (X)9 Yb0 (X')] = / Mvq + AiaqAvjJ D (* - *')• (23)
Далее, канонически сопряженный у импульс определяется соотношением
dL___1 ду
d(dy/dt) - 4 а/ '
и, следовательно, получаем
[YM, Y (*')] = -4iD(x-xf). (24)
Следуя работе [2], будем рассматривать теперь у^v и у как самосопряженные величины. Представим их в форме:
Ynv = 2 (2*)~1/а ^v (k) + Ojiv (к) (25)
к
Y = 2 2 (2fe)~1/a (к) + 0і" (к) e-«<k.r-«)}f (26)
к
где символом t обозначено комплексное сопряжение. Подставляя записанные выше фурье-разложения в (23) и (24) соответственно, находим
Ialiv (к), atQ (k)] = o^ove + o^ovb (2?)
[а (к), а*(к)]=-1. (28)
Подставляя затем (25) и (26) в (18), используя перестановочные соотношения (27) и (28) и пренебрегая нулевой энергией, получаем для гамильтониана гравитационного поля
J Hdv = 2 k {тaU <к> fljiv (к) - at (к) в (к)}. (29) 12. Квантование гравитационного поля. Линейное приближение 331
Для наших целей удобно заменить операторы ап(к), Ci22 (к), as3 (к) и а00(к) операторами а'п (к), а^(к), ^3 (к) и (к), которые задаются соотношениями
(k) = 1 {ап (к) - а22 (к)}, а2'2 (к) = 1 {ап (к) + а22 (к)},
(30)
<з (к) = «зз (к), а'00 (к) = у= аоо (к).
Согласно (27) и (30), перестановочные соотношения для новых операторов имеют вид
К (к), a;t(k)] = i, К (к), a'i( к)] = 1, К(к), a;t(k)] = i, K0(к), a;t(k)] = i, и гамильтониан (29) может быть записан в форме
^ H dv = 2 k И, (к) «12 (к) + aI (к) «23 (к) + Oj1 (к) O91 (к) -к
- а+о (к) а10 (к) - at (к) а20 (к) - atm (к) O80 (к) + + ^ (к) а'и (к) + а'* (к) а; (к) + (к) а3'3 (к) + + а;+(к)а;о(к) + а+(к)а(к)}, (32)
