Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Выделяя из (53) вклад собственной энергии фотона, после некоторых упрощений получаем
OO OO
Зфотон. = ~Тх2 5 S dx'FM(x)X
— OO —OO
^^+!v^W5)^-*''^ <54>
Теперь перейдем к импульсному представлению, полагая
FvX OO = fVK (P) ехр (ІPXf), Df(х-*')= ^dfe (б2 + X2Pexp^ (*- Xf)],
D'f (X - Xі) = - ^ dA' (*'2 + о2)"1 exp (X - X')},
где, следуя Фейнману [8], предполагается, что фотон и гравитон имеют малые массы X и Q, которые в конечном результате полагаются равными нулю. Таким образом, мы получаем
OO UU J__L Л Ь2
^2 Г і? і я С А' 2 H-V a
5фОТОН. = (2^)4 J dxF^ix) Fvk(P) elPX ^ ™(*2+312)[(*_р). + д2] =
— OO
OO
= - і 5 (X) f vX (P) ^Vllv (р), (55)
где
/Xа Г 2 ^JAV^a
^v ^ = (2Й)* J dk (k2 + X2)l(k-p)z + Q4 • (56)
23* 356
С. Гуппіа
Так как плотность собственной энергии фотона ИРфотон. связана с 5фОТон. соотношением
с»
•^фотон. = і ^ ^ХЦ^фотОН.ї — оо
из (55) следует, что Протон, включает только напряжен-ности электромагнитного поля. Отсюда следует, что наш результат калибровочно инвариантен, и, следовательно, собственная энергия фотона несомненно обращается в нуль. Эта ситуация значительно проще, чем соответствующая ситуация в квантовой электродинамике, где собственная энергия фотона определяется менее ясно.
Хотя мы убедились, что собственная энергия свободного фотона равна нулю, представляется интересным выяснить, какие расходимости заключены во внутренних собственно-энергетических диаграммах Фейнмана для фотона. Для этого мы должны вычислить интеграл (56), что может быть выполнено с помощью регуляризации и использования известных приемов интегрирования. Таким образом, находим
і
V (P) = - ш ^ dx [T 6^ {2xl2 ln 2 - ¦А ln +
о
+ Д In (2Д) - Aj + ** (/VPv + у S^vP2) X
X {In И2)-In (2Д)}] , (57)
где Д = X (р2 + е2) + (1 — х) X2 — р2х2 и параметр имеющий размерность массы, стремится к бесконечности. Можем записать (57) в виде
Jiiv(P)= ^nvl2-
к2 Ґ 1 N
— 24^214 PnPv — -4- SlIvP2 + Конечные члены. (58)
Квадратично расходящийся член в (58) может быть исключен с помощью перенормировки напряженностей электромагнитного поля [9], тогда как оставшийся логарифмически расходящийся член указывает на определенные трудности теории. 13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 357
4
X
§ 7. Собственная энергия электрона
Согласно (1,54), плотность лагранжиана для электронного поля, взаимодействующего с линейным гравитационным полем, задается выражением
А\дхк дхк 2 дхх dxj 8 xV^v 2 0^vYyX
{(^?-^) + (*-?-?**)}" (59)
Как и в случае электромагнитного поля, плотность энергии взаимодействия в представлении взаимодействия мы можем взять в виде
+ (*-?-?**)} (60)
при условии, что мы также полагаем
= П(Р(Ц(х), ^(х'Ш,
наряду с обычным соотношением
є (/, Ґ) (P (г|> (х), ^ (xf))\ = Sf (х- Xf). (61) Удобно также положить
~~2
Ynv -4" o*ivY = /W> (62)
тогда легко получим
(Р(Ит(х), V (*'))><> = = J (0^Ae + ougov?. — o^vo^g) Df (x — .v')- (63) 358
С. Гуппіа
Используя (62) и учитывая, что = можно записать выражение (60) для H (х) в более простой форме
H (х) = 1 XAliv (? |;г - |г Y^) • (64)
Теперь вклад второго порядка в S-матрицу для взаимодействия электронов и гравитонов определяется выражением
сю сю
S= \ dx \ dx'P{H(x), Н(х')} =
— оо —оо
OO OO
— OO —OO
- w), *„ (О (¦ (О * ^ Vx4> (О)] -
(65)
Исключая из (65) собственно-энергетическую часть для электрона, получаем
OO OO
5эл. = —fa^dx ^ dx (o^o^+o^o^-o^o^) D'F (х-х) X
— OO —OO
Г Т/ \ д с / >\ , д . .
X Sf (х-х')у^(х') + S.(x-x')v ^Mv д2 V
X Sf (х -Х') Y^ (*')]. (66)
Полагая
Ч» (•*') = "Ф (P) exp (Ірх'),
Df (X - х') = - ^jj ^ dk' (k'2 + е2)"1 exp [ik' (X - х')}, Sf (х - х') = - ~ ^ dk exp {ik (х - х')), 13. Квантование гравитационного поля. Общая теория 359
находим в импульсном представлении
OO
Sqj1. = — і ^ йщ(х)1(р)^(р)ехр(ірх)у (67)
— OO
где
X2 f
1W^ ~~ 16 (2jt)4 \ dk (0^0VO + 6HQ0Vb - <Vv<W X
(k* + m*)l(k-p)*+Q*} ' [ '
Используя обычные приемы интегрирования с применением регуляризации, мы находим
і
ПР)-ХШЛ dx[{2im (1 + *)2 P2- х (1 + *)2 P2 (PY)} X
о
X {In IL + In 3^f - In Л } + {4im -(1 + 3*) (ру)} X
x{3xln(A)^-A(ln^ + ln^-lnA+l)}],
(69)
где параметр имеющий размерность массы, стремится к бесконечности, a A = (р2 + q2) х + т2 (1 — х) — х2р2. Так как для свободного электрона
P2-Ym2 = 0, (ipy + т) -ф (р) = 0, (70)
мы получаем из (69)
г / \ X2WI3 / 3 , / 4 \ I2 л . З?2 13\ /71ч
Последнее выражение представляет собой гравитационную собственную массу электрона.
Чтобы найти все расходимости во внутреннем собственно-энергетическом графике для электрона, мы должны вычислить (69) без использования (70). В этом случае легко показать, что I (р) имеет вид
/ (р) = Л + В (ipy + т) + С (ipy + т)2 +
+ D (ipy + m)3+ Конечные ч^ены, (72) 360
С. Гуппіа
где А и В — квадратично расходящиеся, а С и D- логарифмически расходящиеся выражения. Эта ситуация много хуже, чем соответствующая ситуация в квантовой электродинамике, где собственно-энергетическая часть для электрона включает лишь две расходимости.
