Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Совокупность собственных систем координат может быть подразделена с учетом чисто локальных свойств пространства. Если уравнения поля Эйнштейна удовлетворены во всем римановом пространстве, из двадцати компонент тензора кривизны Римана — Кристоффеля только 10 оказываются алгебраически независимыми. Это так называемые компоненты тензора Вейля. Из них можно построить четыре и только четыре алгебраически независимых скаляра [21]. При условии, что якобиан преобразования от произвольных координат к указанным четырем скалярным полям не равен нулю (т. е. четыре градиента данных скаляров не компланарны), эти скаляры могут рассматриваться как собственные координаты. Каждая мировая точка может быть задана с помощью численных значений этих четырех скаляров, и это задание мировой точки совершенно не зависит от выбора начальной системы координат. Эта схема нарушается, если четыре градиента поля компланарны, например при наличии группы «движений» многообразия (т. е. когда существует поле Киллинга). Такие частные многообразия, вероятно, представляют собой множество меры нуль среди всех многообразий Римана — Эйнштейна. Заметим, что все решения уравнений поля в замкнутой форме относятся к этому вырожденному типу!
Ниже мы всюду будем предполагать, что рассматриваемые многообразия невырождены в том смысле, что они допускают систему собственных координат по крайней
24* 372
ft. Бергман и А. Комар
мере в отдельных областях. При таких допущениях существование собственных координат указывает на то, что мировые точки многообразия Римана — Эйнштейна являются не только различными, но и эквивалентными в смысле локальных геометрических свойств. Для нашего обсуждения не существенно, являются ли выбранные нами координаты наиболее удобными из всех в практическом отношении. Достаточно, чтобы существовал метод однозначного локального отождествления независимо от наличия альтернативных методов.
В § 2 мы установили существование интегралов движения, т. е. совокупности переменных поля, численные значения которых однозначно определяют весь класс эквивалентности решений эйнштейновских уравнений поля. Существование собственных координат показывает, что эти интегралы движения не дают полного описания геометрии в окрестности мировой точки, т. е. что в пределах данного многообразия Римана — Эйнштейна некоторые геометрические свойства меняются при переходе от одной мировой точки к другой. Поэтому, чтобы задать геометрию на данной трехмерной гиперповерхности полностью, мы должны знать как значения собственных координат на-этой гиперповерхности, так и значения полного набора констант движения, удовлетворяющих решению уравнений поля.
Эта ситуация была известна, по крайней мере частично, и ранее. Дирак [12] показал, что для определения внутренней природы решения, исходя из данных на пространственно-подобной гиперповерхности с нормалью не требуется знание четырех компонент метрического тен-зора gnQnQ. С другой стороны, эти компоненты и их производные входят в выражения для тензора Вейля и его четырех скаляров. Оказывается, следовательно, что константы движения действительно не зависят от gixp/го, тогда как для собственных координат это не имеет места.
Обращаясь к допустимым соотношениям между двумя системами собственных координат, может оказаться уместным исследовать вопрос о возможности того, что дополнительные собственные координатные системы со временем будут открыты. Система собственных координат отождествляет мировые точки на различных (неэквивалентных) многообразиях Римана — Эйнштейна. Другими ело- 14. О квантовании гравитационного поля
373
вами, любая система собственных координат обеспечивает взаимно-однозначное преобразование двух неэквивалентных многообразий друг в друга. Это преобразование, конечно, не единственно. В связи с этим будем называть две различные системы собственных координат подобными, «ли они переводятся друг в друга тождественными преобразованиями, и неподобными, если преобразования, связывающие их, различны. Формально подобные собственные координаты зависят друг от друга. Неподобные координаты зависят друг от друга, а также являются функциями констант движения.
§ 5. Решения, зависящие от времени
Построение редуцированного фазового пространства автоматически приводит к формулировке общей относительности с помощью констант движения и коммутационной алгебры, связывающей эти константы. В таком представлении гамильтониан обращается строго в нуль и оказывается исключенной всякая возможность ввести понятие энергии. Часто задавался вопрос, является ли, с точки зрения физиков, такое представление «естественным» или возможны некоторые другие представления, в большей степени оправданные с точки зрения интуиции.
В предыдущем параграфе мы установили, что в общей теории относительности имеют место два типа переменных: константы движения, характеризующие классы эквивалентности и являющиеся генераторами группы преобразований, которые подчиняются коммутационной алгебре, и собственные координаты, с помощью которых мы фиксируем положение точки внутри данного многообразия. Комбинируя переменные этих двух типов, мы можем построить новые переменные, которые содержат в себе те или иные характеристики из упомянутых выше [6—8, И, 22]. Не пытаясь делать в связи с этим окончательных суждений (на наш взгляд, в настоящее время мы не располагаем достаточными для этого знаниями о том или ином представлении), отметим в данном параграфе некоторые из свойств тех канонических переменных, не являющихся константами движения.
