Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы снова будем исходить из формулировки общей теории относительности, в которой гамильтониан является 374
ft. Бергман и А. Комар
комбинацией связей первого класса и, следовательно, обращается в нуль (в смысле дираковского определения этого понятия). Выберем теперь одну из (бесконечного числа) констант движения С и одну переменную, которую обозначим через б, так чтобы скобки Пуассона этой переменной с константой движения были равны единице. (Даже после того как константа движения уже выбрана, выбор второй переменной может быть сделан множеством различных способов.) Кроме того, потребуем, чтобы б не была константой движения, так чтобы она могла служить в конечном счете в качестве «времени». Наконец, мы выберем каноническое преобразование, которое переводит первоначальные канонические переменные поля в новый набор, в котором б и С оказываются канонически сопряженными переменными. В этом случае мы можем принять —С в качестве гамильтониана теории.
Наконец, используем алгебраическое соотношение, связывающее С с помощью первоначального гамильтониана H теории с остальными каноническими переменными. Мы гарантированы, что «время» б в гамильтониан H не входит (или входит с постоянным множителем), так как оно является канонически сопряженной константе движения. Таким образом, мы получаем соотношение вида
C + h(ф, я) = Of (5.1)
где второй член не зависит от б. Первоначальная гамиль-тонова связь теории H была определена лишь с точностью до произвольного локально переменного множителя. Фиксируем теперь этот множитель, принимая для гамильто-новой связи выражение
H = h(ф, я) + С = 0. (5.2)
Будем различать первоначальное фазовое пространство с каноническими переменными поля (ф, б; я, С) и новое фазовое пространство, допускающее в качестве канонических переменных только (ф; я). Будем обозначать скобки Пуассона для первого фазового пространства символом {,}, а для второго — символом [,!.Тогда, очевидно, для любых двух функционалов А и В мы имеем
+ (5.3) 14. О квантовании гравитационного поля_375
и, в частности,
{А, Я} = [Л, А]+4Г- (5-4)
Тогда функционал h будет адекватно играть роль нового гамильтониана. Он не зависит от б и, таким образом, очевидно, является константой движения. Из (5.4) следует также, что если принять в качестве гамильтониана Л, то скорость изменения переменной б будет равна единице.
Придавая скобкам Пуассона для бесконечномерного первоначального фазового пространства вид (5.4), мы, очевидно, исключаем из него две канонически сопряженные «координаты» и одну связь из бесконечного числа связей первого класса. Из нашего метода построения ясно, что начальный выбор переменной С определяет значение «энергии» (т. е. гамильтониана) для любого класса эквивалентности. Действительно, это значение может быть выбрано при желании так, чтобы любой функционал, определенный на классах эквивалентности, был априори константой движения как в нашем, так и в общепринятом смысле. В силу тех же рассуждений при любом выборе гамильтониана h последний является инвариантом, т. е. его значение остается неизменным в пределах данного класса эквивалентности. Даже при задании С, временная координата определена неоднозначно. Любой функционал б', имеющий вид
0' = 0 + ?(ф, я), (5.5)
равным образом допустим при любом выборе б. При таком рассмотрении может оказаться, что выбор «энергии» и «времени» должен базироваться на более строгих критериях, чем просто на условиях, что энергия должна сохраняться и что она может служить в качестве гамильтониана.
Что можно сказать относительно остальных связей? До того, как С и б были устранены из числа канонических переменных, все остальные связи обращали скобки Пуассона для самих переменных и для переменных и гамильтониана в нуль. В качестве первого шага сокращения числа канонических переменных мы с помощью (5.2) устранили переменную С всюду, куда она могла входить в одной из оставшихся связей. Это эквивалентно замене первоначальных связей алгебраическими комбинациями с Н. 376
ft. Бергман и А. Комар
Это не должно менять свойств связей, состоящих в принадлежности их к первому классу, т. е. факта обращения { , ) в нуль как между переменными, так и между каждой переменной и Я. Отсюда непосредственно следует, что ни одна из связей не может зависеть от б, так как в противном случае скобки Пуассона, содержащие С, не обращались бы в нуль. Отсюда мы делаем вывод, что, поскольку рассматриваются скобки Пуассона для связей (не включая //), последние останутся связями первого класса и при скобках Пуассона типа [,]. Более того, так как связи не зависят от O, то для них скобки Пуассона, содержащие Л, равны нулю в силу (5.4). Следовательно, оставшиеся связи и h образуют функциональную группу с новым определением скобок Пуассона. Та форма теории, к которой мы на данном этапе пришли, аналогична другим известным калибровочно-инвариантным теориям типа электродинамики.
В теории, оперирующей с редуцированным фазовым пространством, среди всех полей канонических переменных, удовлетворяющих оставшимся связям, снова можно выделить классы эквивалентности. Поля должны рассматриваться как эквивалентные, если они переводятся друг в друга с помощью непрерывных канонических преобразований, заданных линейными комбинациями только оставшихся связей. Бесконечно малое преобразование, порожденное гамильтонианом h, выводит нас за пределы класса эквивалентности. Соответствующее преобразование в первоначальном фазовом пространстве также приводит к другому классу эквивалентности. Оно отличается от преобразования, порожденного Hy в котором б 0=0 вместо б 0=1.
