Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
а плотность момента количества движения примет вид
^JAV, Q = -^JA ^VQ ojAQ = -^JA ^VQ — ^JAQ "Ъ /jAV, Q* (^5)
Таким образом, для компонент момента количества движения получаем
Pik = - MikA dv = P0ik + Pfikf (46) 12. Квантование гравитационного поля. Линейное приближение 535 где
PJft=- і ^dv (XiThi-XhTii)1 (47)
Pb--і u dvfik, = i \ 4Y^-YMЙ?) • (48>
Здесь P0ik — орбитальный момент количества движения и Рій — вклад в полный момент, обусловленный спином. Подставляя фурье-разложения (25) в (48), получаем
р* = 2 2 yw1['- + 4ч(к) x
к к'
X {ащ (к') ф (к' «г—ft'о __ aj4 (к') (к-, г—ft'Oj + + {akr] (к) ^(к- г-fto + (к) er* (к ¦ '-*<>} X X {air, (k') - 4ч (к') e-*(k'.r-ft'0}] =
= 2 т faiT» (k^ a^ (к) *" a^ (к)aftTi " a^ + к
+ 4л (к) CLixx (к)] =
= 2 1 [aU (к) Oin (к) - 4ч (к) oftn (к)]- (49)
к
Поскольку реальные гравитоны соответствуют операторам
a„(k) и а'п (k) = ~ {ап (к) — а22 (к)},
мы должны рассматривать только ту часть Р[к, которая включает операторы a12(k), ап(k), а22(к) и сопряженные им операторы. Эти операторы входят лишь в компоненту Pf12 и их вклад дается выражением
Р'п = 2 і К (k) on-(k) + 4 (к) ам (к) -к
-4 (к) O11 (к)-а], (к) а« (к)] =
= S 2 і [4 (к) < (к) - а* (к) а12 (к)]. (50)
к
Чтобы отделить вклады двух независимых компонент 336
С. Гуппіа
(51)
(52)
в приведенном выше выражении, введем операторы
o+(k)==Ff{?"(k)_/?l2(k)}'
o-(kH Tf К (к)+'«12 (к)}, где, согласно (27) и (31),
К (к), at (к)] = K (к), ?l (к)] = 1, К (к), а!(к) = 0. С помощью этих новых операторов можем записать
Р* = I 2 [at (к) ?+ (к) - а! (к) а. (к)] = к
= 2 2IX (к) — п_ (к)], (53)
к
где п+(к) и п_(к) задают число гравитонов, соответствующих операторам а+ (к) и а_ (к).
Это показывает, что гравитоны являются частицами спина 2 и имеют два независимых спиновых состояния с параллельной и антипараллельной ориентациями спина по отношению к направлению движения гравитонов.
§ 6. Описание взаимодействия
Из уравнения (И) следует, что взаимодействие гравитационного поля с полем материи может быть учтено, если модифицировать плотность лагранжиана (16) следующим образом:
J _ 1 ґдУцудУцу 1 ду_ду_\
- Y (Yiiv —-j ojiv Y ) Tvlv. (54)
Плотность лагранжиана (54) приводит к следующим уравнениям поля:
D2Yixv = XT4Iiv, D2Y = (55)
При наличии взаимодействия дополнительные условия (34) и (35) должны быть также модифицированы. Следуя 12. Квантование гравитационного поля. Линейное приближение 337
работе [2], дополнительные условия в гейзенберговском представлении можно установить в виде
(?]^ = 0' [Ywi-Yrv = Ol (56)
где [ ]+ означает положительно-частотную часть. Эти условия, естественно, совпадают с (34) и (35) при отсутствии взаимодействия. Необходимость же придать им вид (56) возникает потому, что в гейзенберговском представлении yjnv и y не могут быть разделены на положительно- и отрицательно-частотные части при наличии взаимодействия. Однако такое разделение еще возможно для OYnv/дХд и Ym-JUL — Y- Согласно (55), ду^/дх^ и Ynn-Y е1Де удовлетворяют волновому уравнению для плоских волн
= Cis(Ywi-Y) = O,
где использовано приближение, принятое в § 2.
Когда мы переходим от гейзенберговского представления к представлению взаимодействия, требуемые дополнительные условия могут быть получены тем же самым путем, как и в случае поля излучения. Следуя методу, который использовался в случае поля излучения [6] 1J, в представлении взаимодействия легко получить
( ^Mm + \ х') rOv (xf) do' (t) = 0, V дх* tit У (57)
(Yi5i-Yc+,)Y(*) = 0f
где D(+) (х — х') — положительно-частотная часть D(x — х'). Следует заметить, что вследствие наличия члена Tov в уравнениях (57) те гравитоны, которые не могли существовать в свободном гравитационном поле, могут теперь появиться в виртуальных состояниях при наличии взаимодействия.
*) В работе [6] содержится ошибка. Вместо соотношения, предшествующего (9), должно быть следующее:
[6d^-*'' ] (=(,= -O (*!-*і) б O (jf1-Jfl.
22 Заказ № 738 338
С. Гупта
Для практических целей удобнее использовать инвариантную теорию возмущений, основанную на представлении взаимодействия. Для этого, помимо перестановочных соотношений (23) и (24), потребуются вакуумные ожидания антикоммутаторов. Используя определение вакуума (40), мы легко находим, следуя Швингеру [7],
({уHV (X), у (х')})0 = (6^ 6V0 + 6Д0 б х) D(1) (х - *'),
<{vW. y(xf)})0=-W"(x-xf). (5O)
Отметим, что при вычислении вакуумного среднего использование индефинитной, метрики не приводит к каким-либо отличиям в расчете, поскольку оператор индефинитной метрики т], определенный в работе [2], в точности равен единице для состояния вакуума, которое не содержит никаких гравитонов.
§ 7. Лоренц-инвариантность
В настоящей статье мы рассматривали компоненты уоі тензора Yjl1V с помощью индефинитной метрики, тогда как другие компоненты были проанализированы обычным путем. Таким образом, хотя среднее значение Ynv всегда вещественно, мы должны рассматривать Ynv как комплексный тензор с антиэрмитовыми Yoi и эрмитовыми остальными компонентами. При этом лоренц-инвариантность нашей трактовки не вполне очевидна. Однако лоренц-инвариантность настоящей теории может быть легко установлена путем разбиения Ynv на эрмитову и антиэрмитову части более общим способом, как это делалось нами в работе [2].
