Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Модификация скобок Пуассона, согласно Дираку, является тогда лишь средством сократить число действующих связей до такого числа, при котором ограниченная область фазового пространства преобразуется сама в себя. Ясно, что это уменьшенное число действующих связей сокращает размер класса эквивалентности до такой части первоначального класса эквивалентности, которая совместима с выбором координатных условий. Остается нерешенным вопрос: приводит ли сокращенное число связей к появлению новых констант движения, т. е. переменных, которые коммутировали бы с меньшим числом связей, формирующих генераторы эквивалентных преобразований [15]. Ответ зависит от нашего определения «констант движения». Согласно определению, принятому в § 2 (это определение предполагает инвариантность констант движения по отношению к любой группе инвариантных преобразований, которая может иметь место после того, как координатные условия уже приняты), никаких новых констант движения не возникает. 14. О квантовании гравитационного поля
369
Андерсон [16], используя общепринятое определение констант движения, получил новые константы движения, которые коммутируют с гамильтонианом, но не коммутируют с оставшимися связями. Например, полагая в случае электродинамики
ф = 0, (3.3)
он находит
= (3.4)
Так как div А не меняется со временем и не коммутирует со вторичной связью,
V.* = 0. (3.5)
Вводя далее координатные условия
V-A = O (3.6)
и сводя таким образом переменные электромагнитного поля лишь к Л попер., Япопер., он редуцировал, по существу, фазовое пространство электромагнитного поля к ка-либровочно-инвариантным классам эквивалентности.
Координатные условия, содержащие производные по времени, сокращают диапазон направлений, по которым точка, заданная на гиперповерхности связи, может двигаться в пределах своего класса эквивалентности. Это требование формально эквивалентно сокращению произвола функций в гамильтониане теории. При нашем определении констант движения, данном в § 2, ограничения,налагаемые на вид гамильтониана, не приводят к новым константам движения. Следовательно, такие координатные условия не нарушают структуру редуцированного фазового пространства.
§ 4. Собственные координаты
Различные наборы координатных условий уменьшают оставшийся выбор координатных систем в различной степени. Если в каждом классе эквивалентности остается только одна возможная система координат, мы будем называть эту систему координат собственной. Редуцированный
24 Заказ № 738 370
ft. Бергман и А. Комар
класс эквивалентности тогда состоит из однопараметри-ческого набора разрешенных полей; параметром при этом является координата собственного времени л^. Если канонические переменные поля не зависят от я0 (т. е. если остается допустимым лишь одно поле), мы будем называть систему собственных координат сопутствующей. (Сопутствующими называются такие системы координат, в которых гамильтониан строго обращается в нуль в том смысле, в каком это понятие используется Дираком. Сопутствующая система координат не обязательно является собственной.) Опыт показал, что недостаточно знать число наложенных координатных условий, чтобы ответить на вопрос, приводит ли данная система ограничений к собственным координатам. Построение систем собственных координат является, по крайней мере, одним из возможных подходов (и до сих пор единственным подходом), приводящим к успеху в построении редуцированного фазового пространства общей теории относительности. Если можно таким образом выделить систему координат, чтобы в любом многообразии Римана — Эйнштейна существовала единственная (четырехмерная) система координат, обладающая свойствами, определяющимися данным выбором координатных условий, то каждая компонента любого геометрического объекта в заданной мировой точке в этой системе координат имеет инвариантный смысл, т. е. ее численное значение определено однозначно для каждого решения независимо от того, в какой системе координат это решение было вначале получено.
Существование систем собственных координат уже было установлено [19]. Вопрос о том, должны ли они определяться локальными свойствами многообразия Эйнштейна — Римана или их можно ввести, обращаясь к общим характеристикам (например, задаваясь граничными условиями на пространственной бесконечности), остается, на наш взгляд, открытым. Была высказана мысль, что могут существовать системы координат*, определенные не однозначно, а с точностью до группы преобразований, изоморфной группе Лоренца [6—8, 20]. Это предположение также еще не доказано.
В целях иллюстрации еще раз обратимся к электродинамике. Условие калибровки для излучения (3.3) вместе 14. О квантовании гравитационного - поля_371
с (3.6) можно записать в виде:
A* = A + VA,
VA = O1 -0. (4Л)
В конечной области пространства при отсутствии граничных условий уравнение Лапласа для А имеет бесконечное число решений. Однако при наличии обычных граничных условий существует только тривиальное решение A=Const, если исключить из рассмотрения решения с сингулярно-стями в трехмерном топологически эвклидовом пространстве. Наконец, в метрически плоском, но топологически замкнутом или многосвязном многообразии имеются несингулярные калибровочные преобразования, сохраняющие условия калибровки (4.1) на всем многообразии.
