Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
сой т в данном формализме оперирует с двумя двух-компонентными спинорами \|> и ср:
s« Ve я|) + (іф = О,
а VЩ
$компл.-сопр.^а ф + M^ = О,
a уравнение Паули — Ли — Янга для нейтрино имеет более простую форму
О = sa Va = sa ^— Ta^j г|>. (51)
Это уравнение получается в явной форме из (31), если отбросить член с массой |it|? и заменить всюду у{ на Si. Снова введем новую форму для волновой функции:
. і
со = exp (jjjr (sin 6)2 ij?, (52)
как в (33). Умножим также обе части уравнения для со на S4 компл.-сопр. И заметим, что
s4 компл.-сопр. S4 = 1,
величины
^4 компл.-сопр. Si = Ci (/=1, 2, 3) (53)
являются спиновыми матрицами Паули. Тогда общеко-вариантная форма уравнения Паули — Ли — Янга для нейтрино в пространстве с центрально-симметричной метрикой будет иметь вид
Г -ъь д . Id1 1 d,-|va\ л /С/|Ч
Рассмотрим решение со, которое экспоненциально зависит от азимутального угла и времени:
ехр (//Пуф— iAT), так что уравнение (54) приводится к виду
S "Iх д . imIa* -и л /сеч
27* 405
Д.„ Бриль и Дж. У иле р
Теперь мы уже не можем найти такой действующий на угловые переменные оператор /С, который коммутировал бы с (55). Вместо этого мы поступим следующим образом.
1) Временно введем явное представление для матриц, Паули Oi и выразим уравнение (55) в виде двух зацепляющихся уравнений первого порядка для двух неизвестных функций.
2) Установим характер решения из тех сведений, которые нам уже известны об этом решении в диракодском формализме.
3) Из этого решения построим матрицу смешанной плотности M (1, 2) = г|> (2) г|>* (1). Зная эту матрицу, мы можем вычислить среднее значение любой физической величины. Так, например, поток нейтрино дается следующим выражением:
(Поток нейтрино)* = ^sNJ5 = Tr [ishM (1, 1)]. (56)
4) Эта матрица плотности может быть представлена в виде линейной комбинации четырех матриц, Gi и 1, и, таким образом, переведена обратно в форму, не зависящую от специального представления матриц Паули. В этом случае она принимает вид
M (1,2) = ^(2)^(1) = = ехр [ - і. V (г,) - IV (г2) ] Mr1 {[F (гг) F (г2) + + G(T1) G (г2)] [O1 (1) B1 (2) + ©2jl) в2 (2)] + + ПО (г,) F (г,) - F(F1) G (г,)] [©! (1) O1 (2) -— ©2 (1) ©2 (2)]} 1 (is4) + ИТ. д., (57)
где F и G- введенные ранее радиальные функции. Угловые множители в (57) имеют вид
©і (1) = / (Si) exp (imff ^ 1 Vi,
l (58)
Q2 (1) = g (Oi) exp (Zm3(P1) и т. д.,
где / и g —угловые функции Шредингера [12]. Такие величины, как число частиц, поток и плотность энергии- 15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 405
импульса нейтрино, получаются непосредственно из матрицы плотности (57), согласно формуле (56), которая основывается на двухкомпонентных спинорах. С другой стороны, те же результаты могут быть получены в рамках дираковского формализма, с которым мы и будем в основном иметь дело.
В двух- или четырехкомпонентном формализме уровни энергии «захваченного» нейтрино находятся путем решения уравнения для собственных значений, в качестве которого можно взять уравнение (45). Мы примем метрику геона (43). В этом случае безразмерный эффективный потенциал 1(q) вне сферы радиуса Q = 2,25 имеет вид
мИ'-т^-С'-ІГИ'-І]-
а внутри сферы —
(59)
Этот потенциал изображен на фиг. 1 для нескольких значений положительного целого числа k. Метастабиль-ные связанные состояния имеют место лишь при значениях k порядка 10 и выше. Для таких значений k члены, пропорциональные k, пренебрежимо малы по сравнению с членами, содержащими k2. В этом случае во внешней области I (q) достигает своего максимального значения
імакс. (Qmskc.) =_27"
при
Qmehc. = 3. (60)
Его минимум
? / \ _ 4^2 ьмин. (,QmhhJ — "gar
имеет место при
QMHH. =^61)
Безразмерную частоту колебаний, или энергию є, п-го метастабильного связанного состояния можно оценить тле
Электрон в электростатическом поле
2H
V ЧJ
щ щ щ
г— K=Kr-I К-2.Н
Электрон в гравитационном поле
Фотон в том же гравитационном поле Л-20
2
ш
J-L
J_L
0 1 2 3 4 5
P —
Нейтрино в гравитационном поле
20 30 40
к
15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 407
с помощью формулы, полученной в приближении ВКБ:
ь
(л + я = J [е»-6(e)]l/ade*. (62)
а
где CL и Ь — классические точки поворота «связанного» состояния с наивысшей энергией. Этот интеграл существует только в том случае, когда е лежит между ?мин. = 2^/27 и I^2kc. = ?/38/2 (две границы, проведенные штриховыми линиями, на фиг. 1 справа). Полное число Nk связанных состояний типа k можно оценить, полагая е2 равным максимальному значению ?(q) и вычисляя (62); в результате получим
9/4
9/4
+ 5 [m-w) 3de}-{ = 0,l5*-0,5. (63) Vs
Фиг. 1. Сравнение энергетических уровней электрона в электростатическом и гравитационном полях и фотона и нейтрино в гравитационном поле.
На четырех графиках слева изображены: электростатический потенциал для электрона, эйнштейновский гравитационный потенциал для электрона (—g44 = =ev для «метрики геона»), безразмерный эффективный потенциал ? (р) = /(/-}--fl) (ev/p2) для фотонов и соответствующая величина для нейтрино [?(о), задаваемый (59)]. Связанные состояния электрона лежат ниже тс% и, следовательно, стабильны в отношении утечки электрона. Смещение уровня энергии «а» происходит за счет лембовского сдвига и любых других возмущений, которые увеличивают эффективный потенциал вблизи центра по сравнению с чисто кулоновским потенциалом. Подобным же образом расщепление в случае «о возникает ввиду того, что s-электроны реагируют сильнее, чем р-электроны, на центральную плоскую область метрики. Расщепление в случаях «&» и «d» возникает вследствие спин-орбитального взаимодействия. Фотоны и нейтрино вообще не могут находиться в полностью стабильных состояниях, а только в состояниях с ббльшим или меньшим временем жизни. Волновая функция такого квазисвязанного состояния экспоненциально спадает в области эффективного потенциального барьера, что изображено на нижнем графике слева. Случай равного нулю или малого момента импульса соответствует движению вдоль или почти вдоль радиуса; этот род движения всегда ведет к утечке фотона или нейтрино.
