Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ковариантное дифференцирование спинорных величин и его сравнение с ковариантным дифференцированием тензоров
Тензоры Величины, преобразую-
щиеся как спиноры
Обозначение ко- Индекс \к внизу справа Оператор Vk
вариантного
дифференци-
рования ПО xh
Частный вид д д
ковариантного дхк дхk
дифференци-
рования, когда
пространство
плоское, коор-
динаты—эвк-
лидовы и мат-
рицы Y не
зависят от
координат
Дополнитель- 40 функций Г|?, зави- Те же функции и
ные величины, сящих от координат. четыре матрицы Tk
необходимые
для определе-
ния кова-
риантного
дифференци-
рования^ том
случае, если
одно или бо-
лее из этих
условий не
выполнено
25* Продолжение табл. 2
Тензоры Величины, преобразующиеся как спиноры
Формула, определяющая эти дополнительные величины по метрике Как эти величины входят в определение ковариантной производной 1 „та Ґ dZka 2 ё ^m дх* "Г" , d^ia dSik \ дх* дха J Зависит от трансформа ференцируемо Уравнение (2) или (8) ционных свойств диф-й величины
Пример I Скаляр f Спинор -ф
Действие координатного преобразования Действие спи-норного преобразования Ковариантная производная r=f f — ' дхк г|>' = г|> Ф' = S"1^ агЬ W-аі ад
Пример II Вектор Лз Сопряженный спинор Ipt
Действие координатного преобразования Действие спино рного преобразования Ковариантная производная д7 As - °Х Aa дха As'= A* А * — "дхЬ "'"r^ фї' = -ф'1* = ^ S v^t- at* + 15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 389
Продолжение табл. 2
Пример III Тензор Mi Спинорный тензор Tjft (например, ViVft)
Действие координатного мГ-д'хка д*pMg дха дхі а г дха дх$ lh dl* r«?
преобразова-
ния
Действие спи- MX=Mhi Tlk = S-ITikS
норного пре-
образования
Ковариантная . дМ? Ki=-Jx-T+ vITik = Tik. v+
производная + Г?аЛ4?-Г«,М$ +riftrft-rftrift
вание обладает обычными свойствами
Vk(AB) = (VH) В + A (VkB), Vk (A*) = (VhA)*, (3)
VftYi = O,
где символ * у той или иной величины означает эр-митово-сопряженную величину (комплексно-сопряженную и транспонированную). Величина VkA преобразуется как А при преобразованиях подобия и как тензор на единицу более высокого ранга, чем А, при преобразованиях координат. Определению (1) всегда можно удовлетворить, взяв в качестве Yi некоторую линейную комбинацию матриц специальной теории относительности. Эти последние являются постоянными и, если мы пожелаем, чисто вещественными матрицами, которые удовлетворяют условиям:
Yi Yb + Yfc Yi == Лоренц. > 390
Д.„ Бриль и Дж. У иле р
Sik Лоренц.
10 0 Oj
= 0 1 о о
(4)
Іоренц.
0 0 0-1
Y»* = Yi (І= 1,2,3), vi= -?«•
(5)
Таким образом, в каждой точке х в четырехмерном пространстве можно совершить преобразование от общих координат Xх к системе хг «тетраподов» («Vierbein»), метрика которой представляет собой метрику Минковского в этой точке:
Формализм, который ограничивается решениями соотношения (1), имеющими специальный вид (7), называется формализмом тетраподов. В рамках этого формализма точное решение уравнения (2) может быть записано в простой форме 1J
где si; = 1I2 (ylyj — у V) и ak ~~ произвольные постоянные. В рамках формализма тетраподов преобразование подобия для спиноров эквивалентно преобразованию Лоренца для тетрапода. Следовательно, инвариантность формализма при преобразованиях подобия может быть понята геометрически как инвариантность при произвольных лоренцо-вых преобразованиях тетраподов. Эти преобразования Лоренца не имеют ничего общего с каким-либо преобразованием координат и изменяются произвольно от точки к точке в пространстве.
1J Относительно решения для общих у-полей см. [9]. См. так же J. G. Fletcher, Nuovo Cimento, 8, 451 (1958).
Тогда соотношение (1) удовлетворяется, если
Yi = ^iYe-
(6)
(7) 15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 391
Уравнение Дирака в общей теории относительности может быть написано в форме
Здесь мы предполагаем, что произвольные следы матриц Tk подобраны таким образом, чтобы они объясняли действия электромагнитных потенциалов.
Чтобы образовать вещественные выражения, такие, как плотность тока, будем следовать Баргману, незначительно изменив обозначения, и определим сопряженную в смысле Паули величину для г|г.
i|)t =
при помощи «эрмитизирующей» матрицы а, выбранной так, чтобы как сама а, так и четыре матрицы аіук были эрмитовыми. В формализме тетраподов мы можем выбрать матрицы ук вещественными и положить1) а =/у4. Тогда можно образовать плотность тока
Sfe = ^trvSi), (І0)
ковариантная дивергенция которой обращается в нуль в силу уравнения Дирака (9). Уравнение Дирака может быть выведено из вариационного принципа
б ^ L(— g)1/2d*x = О (И)
с
L = + (12)
путем независимого варьирования по и г|>.
§ 3. а- и ?-вращения и волновое уравнение двухкомпонентного нейтрино
Чтобы получить волновое уравнение дираковского типа для нейтрино, положим равным нулю член с массой в уравнении Дирака (9) и в лагранжиане (12):
YaVa^ = O. (13)
