Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
Устанавливая затем соответствие между классами эквивалентности в первоначальной формулировке общей теории относительности и в формулировке с «временной» зависимостью, мы должны делать различие между допустимыми полями и решениями (последние описывают всю историю поля). Соответствие между классами эквивалентности решений в обоих формулировках безупречно. Этого нельзя сказать относительно классов эквивалентности полей. Здесь однопараметрическая совокупность неэквивалентных полей (относящихся к одному и тому же решению для различных значений O) в формализме с зависимостью 14. О квантовании гравитационного поля
377
от «времени» соответствует полям одного класса эквивалентности в первоначальной формулировке.
С помощью новых классов эквивалентности мы можем снова попытаться свести оставшееся фазовое пространство к редуцированному фазовому пространству классов эквивалентности. В новом формализме существуют инварианты, которые не обязательно являются константами движения. Они задают преобразования классов эквивалентности допустимых полей друг в друга. Однако преобразование классов эквивалентности решений друг в друга будет иметь место только при условии, если эти инварианты являются константами движения. Инвариант, являющийся константой движения в новом формализме, есть также константы движения в первоначальном формализме (в смысле, определенном в § 2).
Если мы хотим сохранить особенности формализма с «временной» зависимостью, но одновременно избавиться от всех оставшихся связей первого класса, мы должны рассмотреть редуцированное фазовое пространство эквивалентных классов полей и канонические преобразования этого пространства, порожденные неременными, определенными в этом редуцированном фазовом пространстве. Число независимых канонических переменных в этом редуцированном фазовом пространстве будет снова равно четырем для каждой точки трехмерного пространства.
§ 6. Построение констант движения
Наличие собственных координат делает по крайней мере принципиально возможным построение констант движения. Тогда для данного произвольного решения уравнений поля в любой конкретной системе собственных координат в заданной фиксированной мировой точке однозначно определяется компонента любого выбранного нами геометрического объекта (такого, как метрический тензор, аффинная связность, тензор Вейля и т. д.). При этом значение каждой компоненты является функционалом данных, определенных на трехмерной пространственно-подобной поверхности в произвольных координатах при условии, что этих данных достаточно для однозначной характеристики решения (предполагается, что сами данные независимы друг 378
ft. Бергман и А. Комар
от друга, так что они не могут привести к внутренним противоречиям при наложении связей). Такой функционал является тогда в любом смысле слова константой движения; его зависимость от соответствующих аргументов не содержит явного указания на применяемые нами координаты.
Если нам удастся таким образом построить все компоненты метрического тензора во всех мировых точках относительно какой-нибудь конкретной системы собственных координат, мы будем иметь достаточно данных для однозначного определения решения; однако эта информация содержит много лишних данных. Число данных, действительно необходимых для полного определения решения, равно четырем [19].
Все наши рассуждения носят общий характер и пока что не представляют собой практической схемы. Для фактического построения констант движения необходимы дальнейшие усовершенствования существующего формализма.
§ 7. Заключительные замечания
Допустим, что мы смогли преодолеть все стоящие перед нами трудности и решили проблему построения полного и не содержащего лишних переменных набора наблюдаемых, подчиняющихся определенной алгебре Ли, в некван-тованной общей теории относительности. Какие возможны пути продвижения вперед в построении квантованной теории? Мы не считаем, что на этот вопрос можно в настоящее время ответить с полной определенностью; мы хотели бы по этому поводу сделать лишь некоторые замечания, которые, правда, могут оказаться более устарелыми, чем выводы предыдущих параграфов.
При формулировке неквантованной теории с помощью формализма с «временной» зависимостью мы приходим к гамильтониану, который является функционалом канонических координат теории. Предположим, что мы уже исключили связи. Тогда при условии, что из каких-либо эвристических соображений мы можем определить хронологическую последовательность аргументов в гамильтониане, будем иметь замкнутую теорию (однако, по-видимому, не 14. О квантовании гравитационного поля
379
существует логически определенного способа, который позволил бы это выполнить).
Это изобилие возможностей устраняется с помощью алгебры Ли, имеющей дело исключительно с константами движения, поскольку гамильтониан такой теории обращается тождественно в нуль.
Однако это кажущееся преимущество «застывшей» теории перед теорией с «временной» зависимостью в лучшем случае невелико. Конструируя все константы движения, которые имеют место, согласно аргументации, изложенной в § 6, мы должны большинство из них исключить, прежде чем остальные окажутся нелишними. Даже если бы мы потребовали, чтобы оставшиеся константы движения состояли из канонически сопряженных пар, это требование не было бы единственным. Выбор переменных, которые можно рассматривать в качестве основных в квантованной «застывшей» теории, по-видимому, столь же произволен, как и соответствующий выбор в теории с «временной» зависимостью.
