Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
1J Относительно обшей эрмитизирующей матрицы см. [10].392
Д.„ Бриль и Дж. У иле р
В этом специальном случае равной нулю массы покоя волновое уравнение и лагранжиан оказываются инвариантными относительно более широкого класса преобразований, чем тот, который обычно рассматривается в теории Дирака. Ситуация здесь аналогична случаю электромагнитного поля Fik в отсутствие зарядов. Рассмотрим любое решение уравнений Максвелла
8^-?- = о, (14)
дху
где е1234 = 1 , a Eijki меняет знак при взаимной перестановке двух любых индексов. Из любого решения этих уравнений в случае метрики произвольной кривизны можно образовать новое решение, проделав преобразование особого рода, которое мы можем назвать «а-вращением»
(^)нов. = Z7ift cos a+ j(-gr1/2^ftTe^„psina, (15)
где а —некоторый угол, который не зависит от координат и времени. В плоском пространстве это преобразование имеет вид
Енов = E cos а + H sin а,
H н P- (16)
«нов. = Hcosa — E sina. 4
Это преобразование не представляет собой какого-либо непосредственного вращения в обычном смысле, за исключением того частного случая, когда E и H представляют главные направления поляризации плоской монохроматической волны; в этом случае a-преобразование поворачивает оси поляризации на угол а.
Аналогичным образом, пусть ^ — некоторое решение уравнения Дирака с равной нулю массой в пространст-венно-временном континууме произвольной кривизны. Тогда можно образовать новое решение путем «?-враще-ния»1Y
1J Возможность этого преобразования в плоском пространстве-хорошо известна.15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 393
4w = exP (¦j Pys^ = [ 1 cos (1 ? ) + Y6sin (1 ? ) J t|>,
(17)
где ? —постоянная и
Y6 = (- вГ1/з-?г ea?YOYaY?YYYo' (Y6)2 = -1, (18)
Y5Yi= -YiYo (і = 1» 2, 3, 4). В частном случае, когда нейтринная волна линейно поляризована в некоторой заданной области пространства, ?-вращение поворачивает это направление поляризации на угол ?. То обстоятельство, что у5\р является решением уравнения (13), следует из (3) и антикоммутационных соотношений (18); следовательно, линейная комбинация (17) г|> и у61(; также будет решением.
Никакое изменение в метрике не может снять вырождения между состояниями поляризации спина г|> и exp (V5^y6) г|>. Подобная ситуация имеет место в физике системы двух электронов. Никакая допустимая система сил не может создать разность в энергии между состояниями и(хъх2) и exp (iyP12) и (Xlj х2), где P12-оператор перестановки. По-видимому, природа вообще не допускает неустранимого вырождения такого рода. Возможны лишь комбинации и (Xi, х2) — и(х2, X1). Подобно этому, допустим, что природа исключает дублетность спиновых состояний для нейтрино, которые не могли бы быть разделены никаким как угодно сильным гравитационным полем. Более того, будем считать, что допустимыми состояниями г|) для нейтрино являются лишь такие, которые при всяком ?-вращении преобразуются в то же ^ с некоторым постоянным множителем:
exP (т Py5) Wt. 5=8 ^(const)WT. (lo)
В таком случае мы приходим к выводу, что волновые функции допустимых состояний имеют с необходимостью круговую поляризацию в том смысле, что выражение
= + (2°)394
Д.„ Бриль и Дж. У иле р
представляет собой смесь с разностью фаз 90° состояний с поворотом на 0 и 180°. Чтобы изменить знак перед і в (20), нужно лишь взаимно переставить определения состояний с положительной и отрицательной энергией. Ли и Янг [1,2] выдвинули другие аргументы в пользу того, чтобы рассматривать все нейтрино как обладающие правой круговой поляризацией. Их соображения получили блестящее подтверждение [3,4]. Представляется неизбежный вывод, что нейтрино обладают только одним состоянием поляризации, являющейся поляризацией по кругу.
Спинорные волновые функции допустимых состояний удовлетворяют условию
(1-''Y5Hc = O (21)
и имеют в соответствующем представлении только две отличные от нуля компоненты. Как показали Ли и Янг, они могут быть описаны двухкомпонентными спинорами Паули. Они ввели двухкомпонентное волновое уравнение
= = (22)
где ст —три спиновые матрицы Паули. Чтобы записать это уравнение в общековариантной форме, удобно ввести четыре двухрядные матрицы Si, которые удовлетворяют условиям
[Si* sjl = "^j + ~sjsi = 2gijl (23)
где чертой обозначено комплексное сопряжение. Тогда ковариантная форма уравнения Паули — Ли — Янга будет иметь вид
s«v alp = 0. (24)
Точный смысл S1 и ковариантной производной Vi известен из спинорного анализа1).
Бета-вращение не является единственным средством образования нового решения волнового уравнения для нейтрино (13) из общего решения Используем представление, в котором все базисные матрицы вещественны,
^компл.-сопр. Y
и возьмем выражение, комплексно-сопряженное (13); тогда
1) См., например, [5], а также [8]15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 395
сразу видно, что ^komhji _сопр удовлетворяет тому же волновому уравнению, что и само г|>. Если г|? представляет состояние с положительной энергией, то ^komiiji _сопр > очевидно, представляет состояние с отрицательной энергией; но в метрике, которая изменяется как в пространстве, так и во времени, не имеется никакого ясно выраженного различия между этими двумя типами состояний.