Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Иваненко Д. -> "Новейшие проблемы гравитации" -> 113

Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.

Иваненко Д. Новейшие проблемы гравитации — Москва, 1961. — 489 c.
Скачать (прямая ссылка): noveyshieproblemi1961.djvu
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 142 >> Следующая


Как убедиться, что базисные матрицы можно выбрать вещественными даже в том случае, когда рассматриваемое трехмерное пространство имеет произвольную кривизну и топологию? Для простоты мы допустим, что время имеет топологию прямой линии1). В трехмерном пространстве всегда можно определить три взаимно ортогональных несингулярных векторных поля —построение, которое, как известно, невозможно на двумерной замкнутой поверхности сферы. Поэтому нам остается лишь заимствовать четыре обычные вещественные матрицы у плоского пространства и применить формализм тетраподов, чтобы получить в рассматриваемом кривом пространстве четыре вещественные матрицы

Yi = (25)

§ 4. Движение нейтрино в сферически-симметричном гравитационном поле

Исследуем взаимодействие нейтрино с гравитационным полем в простейшем известном случае сферически-симметричной метрики шварцшильдовского типа:

(е^ 0 0 0 \ О г2 0 Ol 0 0 г2 sin2 0 0 ' (26>

0 0 0

Здесь координатами являются: хг = г, X2 = Ot х3 = <р, X4 = Ct = T. Предположим, что масштабные функции X (г)

1J Мы признательны проф. В. Баргману, информировавшему нас

о теореме, на которую ссылался Хопф на Международном конгрессе

математиков в Кэмбридже, США (Труды конгресса, т. I, 1950,

стр. 193). 396

Д.„ Бриль и Дж. У иле р

и V (г) произвольным образом зависят от расстояния; они не ограничиваются специальным решением Шварцшильда для локально сконцентрированной массы

(27)

Чтобы написать уравнение Дирака в этой метрике, выбе-< рем поле уматРиЦ типа (7). Есть две простые возможности выбора этих матриц: 1) оси тетрапода в каждой точке параллельны осям г, б и ф, так что нужные нам матрицы Дирака уг выражаются через обычные' матрицы Дирака уг Для декартовой системы координат по формулам

Y1 = ^Y1, Y2 = H72* Ys = sin бу3, Y4 = ^2vY4 (28)

и 2) оси тетрапода параллельны осям некоторой другой прямоугольной системы координат:

Y1 = (sin б cos (pYi + sin б sin фу2 + cos бу3),

Y2 = т (cos б cos фуі + cos б sin фу2 — sin 6y3),

—¦ ~ (29)

Y3 = r sin б (- sin фуі + cos фу2),

Y4 = ^v2Vy4.

Оба выбора приводят к одному и тому же радиальному уравнению, но к различной зависимости компонент спи-норной волновой функции от углов (см. табл. 1). В случае 2 угловая зависимость соответствует той, которая в обычном случае специальной теории относительности предсказывается стандартными формулами (см., например, [11]). Такую неоднозначность волновой функции следует ожидать всегда, когда используется формализм, инвариантный относительно преобразований подобия, которые совершенно не зависят от преобразований координат. Величины, имеющие физический смысл, такие, как плотность тока, будут, конечно, одинаковы в обоих случаях, так как они инвариантны относительно преобразования подобия. Приведем подробный расчет для случая 1. Мат- 15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 397

рицы Tk находятся из уравнения (2) или (8): T1 = O, Г2 = і е-ч*угу2,

Г3 = \ (sin Ъе-чаум + cos OY2Ys), (30)

где v' = dv/dr.

Уравнение Дирака для частицы с массой [ih/c принимает форму

+ ^ + + ^(^ + lctge) + + T^T^-^Y^]^ + ^- (31)

Следуя Шредингеру, можно переписать это уравнение следующим образом:

'•|г = А®, (32)

где

(О = exp (- J ) г (sin 0)1/2 У (33)

и

e-y^h = Y4Y.*"1'* 737 + ^ - (34)

K = -k- (35)

Оператор К является эрмитовым и коммутирует с h. Следовательно, мы можем выбрать функции, являющиеся собственными функциями операторов h и К одновременно, и представить \х-ю компоненту волновой функции (Dp, в виде произведения радиальной, угловой и временной частей

Of4 = R^ (г) Qix (0, ф) exp ( -1 АТ). (36) 398

Д.„ Бриль и Дж. У иле р

Здесь величина h представляет собой энергию (в единицах Ьс). Угловая часть © определяется требованием

/Ccd = AKD, (37)

где k — постоянная. Это уравнение для собственных состояний ротатора было исследовано Шредингером [12]. В соответствии с общепринятым рассмотрением уравнения < Дирака в центральном поле он нашел спектр положительных и отрицательных целых собственных значений k.

После замены оператора К числом k в радиальном уравнении (34) остаются в явном виде только две матрицы, у4 и Y1. Поэтому они могут быть представлены двухрядными матрицами, а радиальная часть волновой функции— двухкомпонентным спинором:

Mio)' Mo-/)' Mg)

(38)

В этом представлении радиальные уравнения для электрона в шварцшильдовской метрике с электростатической потенциальной энергией V = vhc принимают вид:

[е-V2V (Z1 _ V) + ,л] F _ e-Vix _ A G = Of

Sp I (39)

[e-Vtv (h - О) - [X] G + егЧ*. ^f - у F = 0

и представляют собой некоторую модификацию обычных радиальных уравнений (см., например, [13]) для электрона в центрально-симметричном потенциальном поле. Для нейтрино мы, конечно, полагаем v и р, равными нулю.

§ 5. Сравнение уровней энергии электрона в электростатическом и гравитационном полях и уровней энергии нейтрино и фотона в гравитационном поле

Чтобы получить некоторое качественное представление о поведении электронов и нейтрино в гравитационных полях, рассмотрим сначала электрон в гравитационном поле. Мы принимаем шварцшильдовское решение (27) для метрики вне некоторой массы M- Эту метрику мы подставляем в радиальное волновое уравнение (39) и пренебрегаем членами порядка 1 Ic2 и выше. Мы нахо- 15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 399
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 142 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed