Новейшие проблемы гравитации - Иваненко Д.
Скачать (прямая ссылка):
дим, что (E—V) = hc(h—v) заменяется выражением (Е — V — ф), где ф — — {GMIг) (.Е/с2) — «гравитационная потенциальная энергия» частицы с энергией E. Следовательно, в этом приближении уровни энергии электрона, обладающего положительной энергией, остаются неизменными, если электростатический потенциал заменить гравитационным потенциалом той же интенсивности. Формулы Бора для уровней энергии и радиусов круговых орбит
г)'* (40)
__ AZ2Tl2
Г~ mZe2
заменяются соответствующими формулами с, о 1 / GMm\2
(41)
Г GMm2 '
Отклонения от этих формул, вызываемые, например, гравитационным спин-орбитальным взаимодействием, следует ожидать только в том случае, когда вычисленная скорость электрона на наинизшей боровской орбите сравнима со скоростью света:
GMm --C9
или
Mm = (2,18-10"?)2,
или
М~ 5. IO19g. (42)
Для реализации такого предельного случая было бы необходимо, чтобы эта притягивающая масса была заключена в области порядка шварцшильдовского радиуса этой массы или комптоновского радиуса электрона
2 GM 2 Ь 1л_1г
'шв. = -^—— = 7,7-10 11 см\
это условие не достигается даже для материи ядерной плотности. 400
Д.„ Бриль и Дж. У иле р
Изложенный выше анализ в приближении слабого поля требует, чтобы энергия связи частицы была мала по сравнению с ее энергией покоя. Он неприменим к нейтрино с его равной нулю массой покоя. Более того, связанные состояния лежат в области энергий между — тс2 и + тс2 и потому не существуют для объекта с нулевой массой покоя. Волновые функции такого объекта не могут убывать экспоненциально в области, где метрика становится плоской. Однако можно построить метрику с некоторой внутренней областью (областью потенциального .карьера) и некоторой внешней областью таким образом, .чтобы волновые функции нейтрино экспоненциально убывали в области барьера. Тогда просачивание из внутренней области во внешнюю в значительной степени затруднено. В этом случае для нейтрино во внутренней области существуют связанные собственные состояния с большим временем жизни.
Такого рода «ловушку» для нейтрино особенно просто проиллюстрировать в метрике сферического геона с тонкой оболочкой [14]:
, 1 2 GM ^ 9 GM
^e-X=I при Г>Т7Г
1 ^ 9 GM
^v= тг , при Г< —
(43)
4 с2
Обозначив для сокращения
dr* = е21 2 v dr,
C2
GM , GM ч .. -V
є = TT h = ^T (Энергия), (44)
(здесь є — безразмерная величина), перепишем два волновых уравнения первого порядка (39) для случая нулевой массы покоя и отсутствия электростатического поля. Исключив затем одну из двух функций, получим одно уравнение второго порядка для другой функции; 15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 401
либо
+ -6 (в)]/7 = о,
где
V -і я, k . k d iv -«•¦р—в 2 + • (45)
либо где
ЛМ-^ + .'-^-І^«4'. (44
Последний член в правых частях выражений (45) и (46) для безразмерных эффективных потенциалов ?(q) и t)(q) имеет характер спин-орбитального взаимодействия. Как и в случае электрона, движущегося в электростатическом поле, где спин-орбитальное взаимодействие пропорционально моменту количества движения и радиальной производной потенциала, так и здесь один из членов в эффективном потенциале, действующем на нейтрино, пропорционален параметру k момента количества движения, а также радиальной производной метрической величины e1/aV = ( —g44)1/2- Однако в волновых уравнениях второго порядка для двух компонент FnG одной и той же волновой функции этот член появляется с противоположными знаками. Из того факта, что два различных уравнения имеют одинаковые собственные значения, следует, что последние два члена взаимодействия в (45) и (46), взятые вместе, не оказывают никакого влияния на уровни энергии. Иначе говоря, собственные значения энергии инвариантны по отношению к замене k на — k. Это вырождение такое же, как и фундаментальное вырождение поляризации, которое обсуждалось в § 4. Требование, чтобы нейтрино имело правовинтовую поляризацию, означает, что функция разрешенного состояния дается не решением (45) и (46) для положительного k и не решением для отрицательного k, а надлежащей линейной комбина-
26 Заказ № 738 402
Д.„ Бриль и Дж. У иле р
цией этих двух решений. Однако (45) и (46) дают точные выражения, из которых строится полная разрешенная волновая функция, а также дают правильные собственные значения энергии.
Покажем теперь, что те же самые радиальные уравнения получаются в двухкомпонентном формализме. Выберем спиновые матрицы Si, которые определяются соотношениями (23), аналогично случаю 1 согласно (28):
і 0 0 і
= rs2,
(47)
/ — 1 0\ S8 = TSinOl Q j I = Г Sin 0Sj,
W 0 M
= o/=
Для определения ковариантной производной нам нужны двухрядные матрицы Tk9 которые удовлетворяют соотношению, аналогичному (2):
— TiJlSjj, — Fk компл.-сопр.Si + ~ (48)
а именно
T1 = Of T2 = Ye ^ sI компл.-сопр. S2,
Г з — ~2 (sin Oe Si компл.-сопр. S3 -{- COS 6 S2 компл.-сопр. S3),
Г4 = -4— Є2 2 Si компл.-сопр. S4. (49)
Эти не зависящие от представления выражения, очевидно, могут быть также образованы из матриц Tk дираковского формализма (30) путем простой замены: каждое произведение вида Yi у j заменяется на произведение вида Si компл.-сопр. Sy. Уравнение Дирака для частицы с мае- 15. Взаимодействие нейтрино с гравитационным полем 403
