Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Вт + iaSld + PnasV ~ ехР (fe2Pd/4aP)]} Гі = 0- (15.117)
Можно показать [176, 230, 231, 314], что если оптическая длина pnOtz много больше единицы, то некогерентная часть Ги преобладает над когерентной частью Гіс и удовлетворяет следующему уравнению, которое получается, если экспоненту в (15.117) разложить в ряд, удержав первые два члена:
d + i^2d + bp^)ru = 0, (15.118)
где а = kal2k2 и Ъ = p„crs?2/4ap.
Перейдем в (15.118) к безразмерным координатам, полагая
z/L = z', pd/p0 = p'd, (15.119)
где L — длина распространения (0 ^ z' ^ 1). Величина р0 выбирается так, чтобы уравнение (15.118) приняло вид
[-ЩГ + і (®>ког) V*, + р'2\ Yu = 0. (15.120)
Для получения (15.120) положим
Po = (4ap/pneszk2)4\ (15.121)
шК0г = 8apc/pnasz2. (15.122)
Радиус ро совпадает с радиусом корреляции (15.39).
Уравнение (15.120) можно решить точно следующим способом [321]. Предположим, что Ги имеет вид
Гн = [/(/)]-' ехр [g (z') р'2], (15.123)
где f(z) и g(z) есть функции только от z. Подставляя это выражение в (15.120), получим
~ Т ^ + i4ag + [w + i4ag2 + 1 ] Р? = °- (15-124)
где а = сой/сокор- Мы замечаем, что первые два члена зависят только от г и не зависят от р^. Поэтому потребуем выполнения
76
Г лава 15
условии
-j -§r + i4ag = 0, (15.125)
¦Щг + i4«g2 + 1 = 0. (15.126)
Граничные условия для этих уравнений имеют вид
g(z') = О, (15.127)
f(z')= 1 (15.128)
при г' = 0.
Уравнение (15.126) есть уравнение Риккати; оно легко решается с учетом (15.127):
tg [(/4a)1/2 г]
(/4a)
Используя это выражение, из (15.125) можно найти /:
/ (zr) — cos [(г'4а)1г z']. (15.130)
Окончательно решение для z’ = 1 выражается в виде
Ги=-------Х-—гг ехр Г — -g ^iAa-y - р'? 1, (15.131)
" cos (/4a) Н L (/4a) Л d J
где а — cod/шког. Это решение для случая pd = 0 приведено на рис. 15.9.
Выражение (15.131) представляет собой точное выражение для двухчастотной функции взаимной когерентности, удовлетворяющей уравнению (15.120). Рассмотрим теперь случай импульсной волны. Функция импульсного отклика G(t) имеет вид
GU) —— Г ехр[~ш<г(/ ~~т)1 d _ юког Г ехр (— га Г) d
°() 2я ) cos (/4a)V* d~ 2n \ cos (Ма)'/2 dct’
— ОО
(15.132)
где Т = Шког (^ — z/c) .
Рассмотрим подынтегральное выражение в (15.132). Поскольку косинус — четная функция, подынтегральное выражение не имеет в плоскости комплексного а точек ветвления. Полюсы этого выражения а = ап определяются из условия
(/4a)v* = (2и + 1)(п/2), я = 0, ±1, ±2,______________ (15.133)
Таким образом, имеется ряд полюсов двойной кратности
Ид== [(2П+ i.)(?/2)p; „ = 0,1,2,..., (15.134)
поскольку полюсы при п — —1, —2, .. . совпадают с полюсами при п = 0, 1, ... .
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 77
Рис. 15.9. Общий вид двухчастотной функции взаимной когерентности в зависимости от отношения wd/(0Kor в случае сильных флуктуаций.
78
Глава 15
Все эти полюсы лежат в нижней полуплоскости комплексного а на мнимой оси. Поэтому для t — zjc <, 0 контур интегрирования можно замкнуть в верхней полуплоскости, что, как и следовало ожидать, дает нуль:
G(/) = 0 при t — zjc < 0. (15.135)
Для случая t — 2/с > 0 контур интегрирования можно замкнуть в нижней полуплоскости и получить для интеграла выражение
Т=іл1ког(і Z/c)
Рис. 15.10. Общий вид импульсного отклика.
в виде ряда вычетов в полюсах подынтегрального выражения. При этом
оо
G(0 = — 2ш'2 вычетов. (15.136)
п=о
Вычисление вычетов не представляет затруднений и приводит к выражению
ОО
G(/)==[i^or] ? {2п+ 1) (— 1)"ехр {— [(2/г + Dfjr}, (15.137)
п=0
где Т = ®KOr(t — zjc). Функция импульсного отклика G(t) (15.137) показана на рис. 15.10.
Заметим, что приведенные на рис. 15.9 и 15.10 графики имеют универсальный вид и применимы ко многим физическим ситуациям. Параметр соКОг (15.122) определяет ширину полосы когерентности. Это выражение нужно сравнить с (15.113) и (15.112).
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 79
В итоге можно записать следующие выражения для ширины полосы когерентности:
10арс
—— при рnasz < 1,
сок
г з ОбЛЗв)
Lf^rJ — "•>" (№-'•
8а рс
иког == рn<jsz ПРИ РrfisZ ^ 1*
Время задержки Та для случая слабых флуктуаций дается выражением (15.115). Из рис. 15.9 ясно, что выражение
Td = P„crsz2/4apc (15.139)
остается применимым и в случае сильных флуктуаций, причем максимальное значение достигается примерно при lUTd.
Проведенный в данном и предыдущем разделах анализ применим к случаю распространения миллиметровых и оптических импульсов в дожде и тумане. Рассмотрим, например, короткий оптический импульс при длине волны X = 0,6943 мкм (рубиновый лазер) с длительностью порядка наносекунд в случае типичного тумана (рп = Ю8 м-3, средний диаметр D = 9 мкм; см.
разд. 3.2.2). Используя приближения ар = 2,66 (D/Х)2 и
« а( 2it(D/2)2, из (15.138) получим следующее выражение ДЛЯ ширины ПОЛОСЫ когерентности (Оког:
Шког = SapclpnOsz2 — (8,43- 10I3)/z2,
где pnosz 1. Например, при z = 5 км имеем соКОг = 3,37• 106, и уширение импульсного отклика равно 0,3 мкс. Экспериментальные данные подтверждают этот вывод [59, 186].
