Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Г і = 1 при г = 0. (15.103)
72
Глава 15
Уравнения (15.101) и (15.102) вместе с граничным условием (15.103) дают полное математическое описание двухчастотной функции взаимной когерентности.
В общем случае решение (15.102) можно получить численно. Однако более поучительно найти приближенное аналитическое решение. Этим мы займемся в следующих разделах.
15.11. Распространение плоской импульсной волны в случае слабых флуктуаций
Рассмотрим волну на относительно короткой дистанции, когда когерентная интенсивность преобладает над некогерентной интенсивностью. Для этой области запишем
Г! = ехр(г|)). (15.104)
Подставляя это выражение в (15.102), получаем
-jj ф + m (V^ + -{- pna, - P (pd) = 0. (15.105)
Величина г|з есть четная функция от ра, и в общем случае имеет максимум при pd = 0 и спадет к нулю при р^->оо, в то время как |2 равно нулю вблизи pd = 0 и при рй-*-оо. По-
этому можно ожидать (и это подтверждается численными расчетами), что на коротких расстояниях нелинейный член | Vd^|2 будет много меньше, чем V^, и им можно пренебречь. Таким образом, приближенно имеем
-^¦ip + iflV|i|} + pnos-P(pd) = 0. (15.106)
Граничное условие для я|з имеет вид гр (z = 0) = 0. Уравнение (15.106) можно решить точно с помощью преобразования Фурье
k2 Г
^ ^Pd) ехР (^s • Pd) dpd) (15.107)
где в соответствии с (15.95) мы положили Кг ~ k. При этом получаем
— т|з — iak2s%ф + 9nosk26 (ks) — Р Jx (s) fl (s) = 0. (15.108)
Это уравнение легко решается, что дает ¦ф (z, Pd) = — РnPsZ + 5 ds еХР ( — iks ' Pd) X
Z
X Pnfi (S)MS) 5 ^z' exP (iak2s2z'). (15.109)
0
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 73
Двухчастотная функция взаимной когерентности (15.101) с учетом (15.100), (15.104) и (15.109) записывается в виде [186]
Г (г, pd = 0, a»d) = A(z, a>d) ехр [ikdz + іф (z, cod)],
A (z, cod) = exp{ — p„or*z[l — (W0/x) arc tgx]}, (15.110)
j>{z, <s>d) =(pnatzl2)[(Wolx)\n{\ + x2)\,
где
U^o = — = альбедо одиночной частицы, at
x — kdz!2ap = CDd/cDr, cor = 2a pc/z, kd = со Jc.
Выражение (15.110) можно использовать в случае, когда оптическая длина меньше примерно трех. Если же оптическая длина много больше единицы, то пренебрегать нелинейным членом
Рис. 15.7. Амплитуда A (z, wd) и фаза Ф (z, а^) двухчастотной функции взаимной когерентности в случае слабых флуктуаций.
в (15.105) нельзя, и нужно использовать какие-либо другие подходы. Этот вопрос обсуждается в следующем разделе.
Проанализируем теперь решение (15.110). Общий характер поведения амплитуды A (z, cod) и фазы ф(г, со а) изображен на рис. 15.7. Заметим, что при со^-^сю, Л-»-ехр(—pnotz), а ф 0. Эти предельные значения соответствуют когерентной части Гс. Запишем
Г = ГС + Г„ Гс = ехр (— pnatz). (15.111)
Тогда Г( —*• 0 при cod —>¦ оо. Ширину полосы когерентности соког (рис. 15.7) для некогерентной части Г/ можно аппроксимировать, используя разложение arctg* — х — х3/3 + • • ¦ ¦ В результате получаем
®ког«[3 lpnosz]4\ аг = [3/г)„о-,],/2 (2арс/гІ2), (15.112)
где величина рпорядка единицы. Если рnasz много меньше единицы, то ширина полосы соКог аппроксимируется выражением
сйког 5сог = 10apcjz. (15.113)
74
Глава 15
Величина, обратная ширине полосы Шког, описывает временное уширение импульса:
Ts = -J~- (15.114)
шког
На рис. 15.7 показано также поведение фазы как функции х = cod/cor- При малых х фаза ф(г, (оа) есть (pnosz) (х/2). Эта линейная часть фазы описывает время задержки импульса 7V
Td = = РЛг2/4арс. (15.115)
При соа — О Г = ехр (—pnoaz), что согласуется с условием сохранения энергии (15.87).
Дельта-функция А (когерентная интенсивность)
Некогерентная интенсивность
и
l~~c t- —
Td . С 'с
Рис. 15.8. а — импульсный отклик, состоящий из когерентной (дельта-функция) и некогерентной частей, б — если ширина входного импульса меньше величины, обратной ширине полосы когерентности, то когерентную интенсивность все еще можно отличить от некогерентной интенсивности, в — если ширина входного импульса больше величины, обратной ширине полосы когерентности, то когерентная и некогерентная интенсивности неразличимы.
Интенсивность импульса на выходе I(t) дается сверткой (15.85), где функция импульсного отклика G(t) дается преобразованием Фурье (15.83):
оо
G(t) = 4r S Л(г>ю^ехр//^(г> “d)- iad(j — 7-)]rfc°d- (15.116)
— ОО
Общий вид формы импульсного отклика показан на рис. 15.8, а. Заметим, что импульсный отклик состоит из когерентной (дельта-функция) и некогерентной частей. Некогерентная часть характеризуется временем задержки Та и временем уширения 7Y Если входной импульс короче, чем Ts, то когерентная часть выходного импульса почти совпадает по форме с входным импульсом, а некогерентная часть уширяется (рис. 15.8,6). Если длительность входного импульса больше Ts, то форма вы* ходного импульса близка к форме входного (рис. 15.8, в) .
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 75
15.12. Распространение плоской импульсной волны в случае сильных флуктуаций
Как указывалось в предыдущем разделе, если оптическая длина р„сuz много больше единицы, то в (15.105) нелинейный член отбрасывать нельзя. При этом нужно вернуться к уравнению (15.102). Используя (15.100), запишем (15.102) в виде
