Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Следуя процедуре, аналогичной той, которая описана в разд. 2.4 [выражение (2.20)], находим рассеянное в направлении 0 поле Es на расстоянии R от начальной точки Q0:
Es = f(0, і) [ехр (ikR)}/R, f(0, ї) = ^$ {— б X [0 X E (г')] } Є] (г') ехр (— ikr' -0) dV', (16.8)
6V
где f (0, і) — амплитуда рассеяния, а Е(г') — полное поле в точке г' при единичной амплитуде падающей волны.
Рис. 16.2. Рассеивающий объем 6V, Рис. 16.3. Векторы и углы, входящие освещаемый плоской волной, падаю- в (16.9).
щей в направлении і. Рассеянное поле наблюдается в направлении 0.
Принимая флуктуации єі малыми, воспользуемся борновским приближением, в соответствии с которым поле Е(г') совпадает с полем падающей волны е, ехр (iki -г'), где е,— единичный вектор, описывающий поляризацию. Тогда получим
f (б, f) = essinx^- ^ Єї (г') ехр (/ks • г') dV', (16.9а) «у
где es sin х = —ОХ (ОХ Є/), а X — Угол между направлением поляризации е* падающей волны и направлением наблюдения 0 (рис. 16.3). Вектор к* определяется как
к4 = &(Г— 0), = 2^ sin (0/2). (16.96)
Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния единицы объема среды в соответствии с (2.4) есть
а(0, Г) = | f (0, Г)|2/6У. (16.10а)
84
Глава 16
Заметим, однако, что f — случайная функция, поскольку єі(г') случайна. Поэтому в (16.10а) следует перейти к усредненным по ансамблю величинам:
,7(6, j) = (l/6l/)(f(0, і) f* (0, Г)). (16.106)
Подставляя (16.9) в (16.106), получаем
а(°’ V = T4$iv \ S<ei(rOei(rO)exP[‘k«'K-r2)]^^*
ви би
(16.11)
где dVi и dVi — элементы объема в точках г[ и г'2 соответственно.
Если среда предполагается статистически однородной и изотропной [87, 122, 155, 327], то корреляционная функция
(г') Є[ (г')\ зависит только от абсолютного значения разности
г,1“Ы=1г;-г^1:
<«,(¦•;)',(гй)-в,ы=4?»м- <».о.(гд)=в.ы- (1б'12>
Рассмотрим интеграл, входящий в (16.11), пользуясь формулой
(16.12):
S $ Bn(rd)exP(iks‘rd)dV'idV2- (16.13а)
ей ей
Перейдем от переменных rj и г' к разностной rd = r[— г' и суммарной гй=-^-(гі + г2) переменным. Учитывая, что размер объема 6V намного больше, чем радиус корреляции среды, а величина Вп(га) пренебрежимо мала при значениях г а много больше радиуса корреляции, можно вместо (16.13а) записать
^ dVc 5 dVdBn(rd)exp(iks ¦ rd), (16.136)
ви OO
где dVc и dVd — элементы объема для переменных гй и га соответственно, а пределы интегрирования по га взяты бесконечными.
Заметим теперь, что, согласно теореме Винера — Хинчина, фурье-образ корреляционной функции Вп(га) представляет собой спектральную плотность ФП(К):
фп(Ю = -^г \Bn(rd)exp(iK-rd)dVd. (16.14а)
ОО
Следовательно, интеграл (16.136) пропорционален фурье-об-разу Вп, взятому при К = ks. Отметим также, что, поскольку В„
Рассеяние волн в сплошной среде и турбулентные среды
85
зависит только от модуля rd, функция Фя тоже зависит только ог длины вектора К:
Ф«(Ю = -^}Г \ Bn(rd)exp(iK ¦ rd)dVd. (16.146)
оо
Используя (16.136) и (16.146), из формулы (16.11) находим
а(0, і) = 2л&4 sin2%cp„(&s), (16.15)
где ks — 2k sin (0/2).
Выражение (16.15) представляет собой основное выражение для сечения рассеяния единицы объема случайной среды. Исследуем это выражение.
Рис. 16.4. Диаграмма направленности диполя, входящая в дифференциальное сечение рассеяния.
Во-первых, заметим, что множитель sin2 % соответствует диаграмме направленности диполя. Падающая волна создает в случайной среде эквивалентный дипольный излучатель с диаграммой вида sin % (рис. 16.4).
Рис. 16.5. Дифференциальное сечение рассеяния пропорционально спектральной плотности, вычисленной в точке 2k sin (0/2).
Заметим также, что сечение рассеяния о пропорционально спектральной плотности Фп показателя преломления, взятой в точке ks. Таким образом, если спектральная плотность известна, то сечение рассеяния в заданном направлении 0 определяется ее значением, взятым при ks = 2k sin (0/2) (рис. 16.5).
86
Глава 16
16.3. Формула Букера — Гордона
В формуле (16.15) сечение рассеяния о(0, і) записано через спектральную плотность Фя(&і) флуктуаций показателя преломления. Для описания практических ситуаций имеется несколько моделей ФМы рассмотрим три наиболее важные из них: а) модель Букера — Гордона, б) гауссову модель и в) колмогоровский спектр.
Букер и Гордон [42, 43] предложили модель, основанную на предположении, что корреляционная функция является экспоненциальной:
в„Ы = (^)ехр(-^/0- (16Л6)
В этой модели случайная среда характеризуется двумя величинами: дисперсией (nf) и расстоянием I. Расстояние I называется
радиусом корреляции, поскольку в пределах этого расстояния корреляционная функция убывает в е раз по сравнению со своим значением при rd = 0, и, следовательно, он указывает приближенно интервал, внутри которого свойства среды коррелированы. Радиус корреляции I называют также масштабом турбулентности, так как он характеризует некоторый средний размер турбулентных образований, или вихрей. Отметим, что такой выбор корреляционной функции сделан не на основе анализа физических свойств среды, а из соображений простоты математических выкладок. Что касается колмогоровского спектра, обсуждаемого ниже, то он опирается на фактические свойства турбулентности.
