Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
ными неоднородностями. При этом ключевым вопросом является вычисление двухчастотной функции взаимной когерентности Г. Интегральное уравнение для Г можно получить, следуя подходу, развитому в разд. 14.8 и 14.9.
Запишем Г в виде суммы когерентной части Гс и некогерентной части Г,-:
Г = Гс + Гг. (15.88)
Когерентная часть Гс определяется выражением
ГС — (Н (Юь Гь h))(H (ш2> ї*2, 4)). (15.89)
где Я (со, г, t) — значение поля в точке г в момент времени t для
случая, когда на входе имеется гармонический сигнал, пропор-
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 69
циональный ехр(—Ш) (разд. 5.1). Когерентное поле <#> удовлетворяет волновому уравнению
(\2 + КТ)(Ні) = 0, 1=1,2,
Ki = kt + [2npfi (Г, i)]/kh (Hi) = (Н (щ, г, /,)>. (15.90)
Для того чтобы найти Г,-, определим сначала обобщенную лучевую интенсивность /:
Г (0)1, С02, ГЬ Г2, t2) =
= ^ /(соь со2, rc, s, /ь г2) ехр (j/Crs • Td)dQ, (15.91)
где тс = ~ (rj + r2), rd = (Ti — r2), Kr = Re-^(Ki +К2), a dQ, — элемент телесного угла для направления, определяемого единичным вектором s. Будем считать, что скорость частиц V много
\srf=rf(ihT2)
/(г„0
Рис. 15.6. Величины, входящие в выражение (15.92).
меньше скорости распространения волны. Следуя методу разд. 14.8, получим [176, 186]
Гг- = J Р drs {[ехр (iKiRi - iKlR2)]/RiR2) X
X 5 dQ'hf2 ехр (іКЛ' ¦ Vtd), (15.92)
где
Ri =
о У ^ il г,
R2-
Г2 + у
td —-h —
/1 = /1 (Si, s'), /2 = (s2, s'), / = / (й)ь ffl2, rs, s', tu t2),
dQ' — элемент телесного угла в направлении s', st и s2 — единичные векторы направлений Гі — г5 и г2 — г5 соответственно (рис. 15.6).
Выражения (15.88) — (15.92) дают основное интегральное уравнение для двухчастотной функции взаимной когерентности Г.
70
Глава 15
Общее решение этого уравнения неизвестно. Однако можно получить более простое приближенное дифференциальное уравнение, справедливое для случая, когда размеры частиц сравнимы с длиной волны или больше ее. В этом случае волны рассеиваются главным образом в направлении вперед, и можно использовать малоугловое приближение (разд. 15.2).
Дифференциальное уравнение для двухчастотной функции взаимной когерентности Г в двух точках (pi, z) и (р2, z), в поперечной плоскости (z\ — z% — z) ив два момента времени t\ и t2 можно получить, используя параболическое приближение для ехр (ВДі)/Яі и считая, что амплитуда рассеяния / зависит только от s — s':
{і -і v' - XT vi\ -‘ № - K>) - p (o* - v'<))r=»¦
(15.93)
где
P (pd) = 5 Pjl (S) eXP (~ • Pd) ds’
/Ct = &, + -Pn^0)- , К2 = k2 + 2~pn.h (0) ,
К1
KT\ = Re (/Ci), Kr2 — Re (/C2), Pd==Pi — p2, td — t\ — t2,
fi(s) — амплитуда рассеяния одиночной частицы для частоты ом в направлении (0, ф) при падении волны в направлении (0 = О, Ф — 0), a s = /х -(- ту = sin 0 cos фх -f- sin 0 sin фу. Аналогично f2(s) — амплитуда рассеяния для частоты ю2. Операторы и V2 — двумерные лапласианы по координатам pi и р2 соответственно. Концентрация частиц обозначена через рп, чтобы избежать путаницы с радиальным вектором р.
Уравнение (15.93) есть основное дифференциальное уравнение в малоугловом приближении.
15.10. .Двухчастотная функция взаимной когерентности для случая плоской волны
Уравнение (15.93) было решено точно для случая сої = со2. Однако аналитическое решение для случая сої Ф ю2 не найдено. В данном разделе мы проанализируем специальный случай распространения плоской волны в направлении г.
Для случая плоской волны Г не зависит от pc = -i (р; -f р2) и
(15.93) принимает вид
[І + 1 П - ‘(К, - «Э - Р (ft< - VV)] Г “ 0. (15.94)
где V;* — лапласиан по координатам р<*.
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 71
Для большинства практических случаев различие между Кг и k весьма незначительно, а разность частот сої — со2 много меньше несущей частоты соо. Поэтому можно использовать приближения
Kr\^k\, Kr2~k2, KrlKr2~kik2^k2, (15.95)
где k = СОо/с.
Заметим также, что в случае больших частиц амплитуда рассеяния f приближенно пропорциональна k. Фактически, как показано в (6.21), для а0 >> Я (где а0 — радиус частиц) имеем
Ї(0) = -ТШТ 7> (ka sin 0) |е=0 = Т (lkao)' (15-%)
Поскольку отношение f/k почти не зависит от k, можно записать
'(*1 - К) = i(Krl - Kr2) - p„<r( « i(kx - k2) - РЛ) (15.97)
где полное сечение at берется на несущей частоте.
При вычислении функции P(pd) можно использовать аппроксимацию
/,(s)/J(s)«(l - k2J4k2) \f(s)\2, (15.98)
где kd — kі — k2, a f(s) берется на частоте coo- Величину \f\2 можно аппроксимировать гауссовой функцией [см. (6.20)]:
l/(s) ]2 = -^-orsexp(— aps2), (15.99)
где os — сечение рассеяния, взятое на частоте coo,ctp = 2,77/0р*, а 0рй — угловая полуширина индикатрисы рассеяния отдельной частицы. Из (15.93) получаем
р (ра) == Р/Л 0 “ kd/4k2) ехР (~ к2рУ4ар) ~
« prtorsexp(— kYd/4ap). (15.100)
Подставим теперь (15.95), (15.97) и (15.100) в (15.94). При этом запишем
Г = Г[ ехр (ikdz — pnoaz). (15.101)
В результате получим следующее уравнение для Гі:
Й + ^ + рЛ - Р (Pd)] Гі = 0- (15-102)
где а — kdl^k2. Граничное условие в случае падения плоской волны при 2 = 0 есть
