Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 2 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
(15.67) V* = 0. Взяв далее преобразование Фурье
F (z, q)=^-(2’’ s)e~(’s'4rfs, (15.71)
получим
“ І F + (1 - 4їг) F = —4r l° exP (- Pn<yaz) (2it)2 fl(q).
(15.72)
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 65
Это уравнение нетрудно решить, что дает
d
I_ (z, s) =pjyr J Fe" 1 rfq = (J exp (— 2р„<г,г) <І2 =
где d — толщина слоя (рис. 15.3).
Рис. 15.3. Обратное рассеяние на облаке случайно распределенных рассеивателей, Интенсивность для 0 > (kD)~ дается выражением (15.73), а интенсивность для 0 < (kD)~l — выражением (15.76).
Выражение (15.73) можно сравнить с решением в приближении однократного рассеяния Is (первое приближение теории многократного рассеяния)
a I d
h = ^ ехР (— 2Pn<*tz) dz =
= 05-74)
Отметим существенное различие между решением с учетом многократного рассеяния (15.73) и решением первого приближения (15.74).
Выражение (15.73) справедливо для области 0 > (kD)~\ где D — размер частицы, a |s| = sin 8 (рис. 15.3). Известно также
[97, 371 ] 1), что в области 0<{^D)_I интенсивность обратного
рассеяния 1ь дается выражением
/6 = 2/_-/,. (15.75)
Физически это означает, что интенсивность обратного рассеяния 1т, связанную с многократным рассеянием, нужно учитывать
*) Более строгое описание интенсивности рассеяния назад требует использования четвертых моментов ПОЛЯ.
66
Глава IS
дважды, поскольку при обратном рассеянии один и тот же путь используется два раза, однако обратное рассеяние, связанное с интенсивностью рассеяния первого порядка Is, нужно считать только один раз (рис. 15.4). Поэтому при 0<(/eD)-' можно записать
1Ь = 21т + /в = 2(Im + Is) - Is — 2/_ - /5 =
“(тг1)^'--^. <15-76>
где
1 - ехр (- 2pn<yad) _ 1 - ехр (- 2рnatd)
I- 2 pnaad ’ [s 2р natd
При 0 > (kD)-1 Іь = I- (рис. 15.5).
о
J*
о S
Рис. 15.4. Интенсивность многократного рассеяния 1т необходимо учитывать дважды, а интенсивность однократного рассеяния — только один раз.
Рис. 15.5. Интенсивность обратного рассеяния, нормированная на величину рсг6/0^/4я. Сплошные кривые соответствуют наличию поглощения, а штриховые — случаю непоглощающих частиц.
Сечение обратного рассеяния ст на единицу поверхности содержащего рассеиватели слоя толщины d определяется выражением
" = i7r = 0W*)[2f--,J- (|5'77)
В литературе описаны измерения радиолокационного сечения обратного рассеяния от облаков [6, 51, 76, 257]. Было отмечено, что теория однократного рассеяния не объясняет экспериментальных данных. Однако сравнение описанной в данном разделе теории многократного рассеяния с экспериментом не проводилось.
Теория многократного рассеяния и распространение импульсов 67
15.8. Распространение импульсов в облаке случайно распределенных рассеивателей
В разд. 5.1 и 5.2 мы рассмотрели общие формулы для случая распространения импульса в случайно-неоднородной среде. Второй момент комплексной огибающей Ви дается выражением
оо оо
Ви{1\, /2) = 5 rf(0> S rfco2t/i(co>.)t/‘(co2)rexp(—(15.78)
— оо — оо
где Ui(a>) —спектр комплексной огибающей импульса на входе,
оо
и, (0= 5 и{(а)е~ш d(?>, (15.79)
— оо
а Г — двухчастотная функция когерентности.
Интенсивность P(t) импульса на выходе определяется выражением
оо оо
P(t)= ^ da>l ^ da>2Ul (cDj) и*(а2~) Г0ехр[— /(cDj — со2) /], (15.80)
— оо — оо
где Го — значение Г при t\ = /2.
Во многих практических ситуациях двухчастотная функция
когерентности есть медленно меняющаяся функция t =~(ti t2)
и <дс = ^-(о)! + “2), поэтому можно считать, что Г является функцией только от td и сой. В этом случае говорят о стационарном в широком смысле некоррелированном рассеянии. При этом (15.80) можно выразить в виде свертки, содержащей интенсивность на входе Ii(t):
00 00
/*(/) = ^ dcol ^ d(o2Ui ((Dj) U*. (со2) ехр [— / — со2) /] (15.81)
— оо —оо
и функцию отклика G(t) на входной дельта-импульс.
Для того чтобы найти функцию отклика G(t), положив сначала в (15.81) h(t) = б(t), получим
5^|(®1)^(®2) = -Уг- (15.82)
Подставляя это соотношение в (15.80), находим
G № = 2jT S ехр (— /со,/). (15.83)
68
Глава 15
Для интенсивности іі(і) общего вида из (15.81) можно получить
^ d<&cu. ((Oj) U* (со2) = -2^- ^ 1 і (0 ехР (Iad0 dt. (15.84)
Подставляя это выражение в (15.80) и используя (15.83), получаем свертку
I(t) = ^G(t — t')Il(t')dl'. (15.85)
Отсюда видно, что отклик на произвольный импульсный входной сигнал легко получить, если известна функция отклика G{t), даваемая выражением (15.83).
Полная мощность импульса на выходе Е0 дается выражением
схз
?0= J I{t)dt. (15.86)
— схз
Используя (15.83), получаем
оо
Ео=Г0(щ = 0)Е{, Е,= J It(l)dl. (15.87)
— оо
Из (15.87) видно, что Г0 при = 0 дает отношение полной мощности на выходе к полной мощности на входе. Например, для плоской волны Го((0(* = 0) должно быть равно единице, если отсутствует поглощение, а обратное рассеяние не учитывается.
15.9 Интегральные и дифференциальные уравнения для двухчастотной функции взаимной когерентности
В предыдущем разделе мы дали краткую сводку общих результатов для распространения импульсов в среде со случай-
