Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
239-
Подставляя этот ряд в уравнение переноса (детали этого метода даны в
работе [31]), можно получить М + 1 уравнение
ДЛЯ Iт¦
Описанный в данной главе метод основан на квадратурной формуле
Гаусса. Имеются и другие методы, которые оказались также эффективны
при решении рассматриваемой задачи. Так, например, лучевую
интенсивность можно разложить в ряд по полиномам Лежандра с
неизвестными коэффициентами ([11], гл. 3). Можно также рассмотреть
общие соотношения между отражением и прохождением, для конечного
слоя и составить соответствующие интегральные уравнения. Такой метод
оказался достаточно эффективным ([31], гл. 7, а также [2, 12]). Основную
идею этого метода называют принципом инвариантности и инвариантным
погружением. В следующем разделе мы опишем аналогичную методику,
применимую к случаю слоистой плоскопараллельной среды.
11.7. Слоистая плоскопараллельная среда
Обобщим теперь результаты предыдущих разделов на случай слоистой
структуры, содержащей рассеивающие частицы. Предположим, что
частицы в l-м слое характеризуются плотностью р/, полным сечением oti
и фазовой функцией рог(р, р') (рис. 11.5). Расстояния внутри каждого
слоя мы будем измерять в единицах собственной оптической толщины т;
= piOtiz и предположим, что на первый слой падает плоская волна с
потоком мощности Г0-
Пусть 1" - матрица-столбец 2N"Xl, состоящая из диффузных
лучевых интенсивностей на поверхности а в направлениях р = р,, i = N,
..., 1, -1, ..., -N [см. пояснения к (11.23)]. Пусть Ь - матрица-
столбец 2N X 1 из диффузных интенсивностей на поверхности b.
Если найти 2N X 2Л^-матрицу Ti и 2N X 1-матрицу Fi для первого
слоя между поверхностями а и Ь, которые связывают 1а и Ь следующим
образом:
.то, рассмотрев последовательность слоев, нетрудно получить со-
отношение, связывающее 1" и 1 а-
(11.57)
IC = F2 + T2I6, Id = E3 + T3Ic,
(11.58)
Ia = F + TIa,
(11.59)
где
F = F3 + T3F2 + T3T2F" T = T3T2T,.
240
Глава 11
Граничные условия для 1а вытекают из отсутствия диффузной
лучевой интенсивности, входящей в среду в положительном направлении
г. Граничные условия для \d следуют из отсутствия на поверхности d
диффузной интенсивности в отрицательном на-
Поверхность Поверхность Поверхность Поверхность
" ' Ъ с d
7-3-
I
! 1Э
и
Ti
-о 0
T2
" -О O-
Тз
Рис. 11.5. Плоскопараллельная задача со слоями.
правлении г. Выразив эти условия через элементы матриц-столбцов
IaN IdN
I "=(/",)=
Л.1
la-
X
1 a - N
Id - (hi) -
I
d
X
ld
-
X
\ 'd - N
(11.60)
получим
I at - 0 ДЛЯ /= 1, 2 N,
Idi = 0 для / = -1,-2 - N.
(11.61)
Плоскопараллельная задача
241
Подставляя (11.61) в (11.59), можно записать 2N уравнений для 2N
неизвестных, Iш- для i = -1, -2, ..., -N и 1ц для i = \, 2, . .., N при
условии, что F и Т известны.
Таким образом, задача о слоистой среде, изображенной на рис. 11.5,
может быть полностью решена, если мы можем найти F/ и h для каждого
слоя.
Опишем теперь, как получить матрицы F; и Т/. Рассмотрим первый
слой (/=1). Полное общее решение для слоя (11.35) было получено
выше. Запишем его в матричной форме1):
I (т) = ае~х + РЁХС, (11.62)
где а - матрица-столбец 2N X 1 из (11.28), р- матрица 2N X X 2;V с
элементами рш-, а Ех - матрица 2N X 2М, определяемая соотношениями
ЁХ = {ЕЦ), г, j = N, ..., 1, - 1, -N,
Ец = еК1Х, Ец = 0 для г ф j. (11.63)
Матрица С есть • матрица-столбец 2N X 1 с элементами Сп из (11.34).
В (11.62) I (т) должно быть равно 1а при т = 0 и I& при т - = ть
Поэтому имеем
Ia = a + pC, \b = ae~Xl + PETlC. (11.64)
Исключая С из этих двух уравнений, получаем
h = F, + Til,, F, = ае~х' - РЁХ, (P)"' a,
- _ . (11.65)'
T1 = PETl (P)-1.
В этих выражениях р и Ех представляют собственные векторы и
собственные значения для слоя; а описывает источники и про-
порционально F0- Эти величины можно получить, зная St] и Bt в (11.24).
Для второго слоя (/ = 2) можно аналогично найти F2 и Т2 по Si] и Bt,
характеризующим этот слой. В этом случае F0 в выражении для Bt нужно,
конечно, заменить на F0e~x'._
Таким образом, в общем случае матрицы F; и Т; можно записать в
виде
F/ = a fxi - р;ЁХ/ (Р/)"1 Щ, Т, = Р;ЁХ/ (Р,)-1.
Эти величины вычисляются, если известны плотности р;, полные сечения
Ои и фазовые функции рог(р, рО для каждого слоя.
!) Диффузная интенсивность I<j из (11.35) обозначена в (11.62) через 1" 1тобы
избежать путаницы с 1а на поверхности d в (11.58) и (11.59).
242
Глава 11
11.8. Некоторые смежные проблемы
Решения уравнения переноса излучения для плоскопарал- лельных
задач рассматривались в связи с самыми разнообразными проблемами.
Например, с помощью уравнения переноса изучалось излучение слоев
тумана и рассеяние света на облаках [83, 84, 120, 121]. Рассматривалось
также рассеяние оптического излучения в океане и прилегающих слоях
воздуха [57, 82]. Плоскопараллельная задача с тепловой функцией
источников применялась для описания микроволнового теплового излу-
