Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Исимару А. -> "Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1" -> 80

Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.

Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 — М.: Мир, 1981. — 285 c.
Скачать (прямая ссылка): rasprostranenieirasseyanievoln1981.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 92 >> Следующая

J G (К) eiKrK dK. (12.9)
Такой переход оказывается целесообразным, поскольку контур
интегрирования теперь можно замкнуть на бесконечности и использовать
для вычисления интеграла метод вычетов.
Запишем
г' Г arctg(/Gp0,)e,'/o' jsr
,10 im
G " (2 я)1 r J 1 - (р о J К) arc tg (К/ра Л dK' (12 • 10)
(2я)а r J 1 - (poJK) arc tg (K/pa{)
Чтобы в этом выражении контур интегрирования замкнуть на
бесконечности и свести интегрирование к вычислению вычетов н вкладов
от разреза, как показано на рис. 12.1, нужно, чтобы подынтегральное
выражение обращалось в нуль прн |/С| -^ оо. Но в интеграле (12.10) arc
tg(/C/por) стремится к л/2 при


246
Глава 12
| KJоо, поэтому подынтегральное выражение не обращается в нуль
на бесконечности.
Чтобы обойти эту трудность, запишем
G(r)-
(2л)
а г (
~1Гг ) Т
(!//() arc tg (K/pot)
JKr
¦(paJK arc tg(K/pcr,)
dK. (12.11)
Контур интегрирования теперь можно деформировать, как показано на
рис. 12.1. В (12.11) имеются два вида особенностей: полюсы в точках, где
1 -(pas/K) arc tg(/(/pcjf) = 0, и точки ветвления, связанные с
арктангенсом.
В D
Комплексная

Чра,
Рис. 12.1. Контур интегрирования в комплексной плоскости А-; локализация полюсов
при ±/рсг(а0 и точек ветвления при ±раг
Рассмотрим сначала местоположение полюсов К = КР. Заметим, что,
поскольку tg(Kp/pas)= KP/pat и at ^ as, полюсы не могут быть
вещественными. Однако корни Кр могут быть чисто мнимыми.
Действительно, полагая КР - ± (рщао, имеем
1 - (Г0/а0) ar th а0== 0, (12.12)
где Го - отношение сечения рассеяния к полному сечению, называемое
альбедо. Уравнение (12.12) можно записать в виде
1=-1г'"(-??)• 02.13)
Решение этого уравнения а0 как функция альбедо W0 изображено на
рис. 12.2. Как будет показано ниже, величина ао имеет простой
физический смысл. Удобно записать рща0 = 1/L, где L - расстояние, на
котором связанное с вычетом слагаемое уменьшается в е раз, называемое
длиной диффузии.


Изотропное рассеяние
247
Точки ветвления можно определить из соотношения
arc tg Z = пл. + In ( | * 'I ) , (12.14)
откуда видно, что arctgZ имеет точки ветвления при Z = ± t.
Таким образом, точки ветвления К - Кы определяются усло-
вием
Kjp<Jt = ±i. (12.15)
Найденные полюсы и точки ветвления показаны на рис. 12.1.
Рассмотрим теперь интеграл в (12.11). Поскольку г > О,
ехр (iKr) обращается в нуль при |/(|->-оо в верхней полупло-
скости комплексного переменного К, так что интеграл оказы-
1,0
ао
Рис. 12.2. Решение уравне- Q j
ния (12.13) (зависимость а0 от '
W0).
О
О 0,5 1,0 0 а"
вается равным сумме произведения 2т на вычет в точке Кр = - ipotсс0
и вклада от разреза (рис. 12.1):
G(r) = Gret(r) + Gbr(r). (12.16)
Слагаемое Gres(r), связанное с вычетом, равно
р а,
Gres (г) = Ра ехр (- рст<а0г), С12.17)
где
р 2°°(1 ~а") 2/2(12-/2)
d Wq (ct q + Wq l) W0L2 (D\V0 + I2- L2) '
В этом выражении I - полная длина свободного пробега, определяемая
из равенства pat -l/l, a L - введенная выше длина диффузии.
Рассмотрим теперь вклад от разреза Gbr(f)- Заметим, что, полагая К
= tp<r^ '), для контура CD, показанного на рис. 12.1,

') Определение арктангенса см., например, в книге [1]. Заметим, чтоаргут мент
величины К - ipat есть п/2 для CD и -Зя/2 для ВС.


248
Глава 12
имеем
аГСЧ^) = ^1п^+1 + Т = 7'ь (12.18а)
а для контура ВС -
arc tg ( Р^) = 1п тгт ~ Т = Т-' (12л8б>
поэтому интегрирование вдоль разреза дает
/л _ Рat J Г T2exp(-patrt) г Т, ехр (-ре//) Д_
°Ьг (2я)2 г М 1 + I (WJt) т2 ) 1 + / (WQ/t) Г, ш \
^ ОО 1 *
оо
7 5 ^о)ехР(- potrt)dt, (12.19)
pe
r
4яг
где
Вычисление интеграла можно еще более упростить, положив и = 1 /(.
Тогда
1
ра. г ( Рв,г \ du
°i>r(r)= ^о)ехр[ -)-JJT- (12.20)
Таким образом, полное выражение для средней интенсивности
U(г) излучения изотропного источника с полной мощностью Ра
имеет вид
I/(r) = ^-G(r) = ?/," (r) + Ubr(r),
G (г) = Gres (г) -f Gbr (г) = (12 21)
_ Рatpd
Апг
р <7, С
- ехр (- pata0r) + - ^ g (/, W0) ехр (- рatrt) dt.
Графики нормированной интенсивности 4лr2G(r) приведены на рис.
12.3, где параметром является Wo- Заметим, что, поскольку G(r)
представляет собой плотность энергии, а не поток


Изотропное рассеяние
249
мощности, 4nr2G{r) может быть больше единицы, как видно из рис. 12.3.
Полный поток мощности в радиальном направлении должен быть,
конечно, не больше полной мощности источника.

Поскольку вектор потока F связан со средней интенсивностью
соотношением
V • F (г) = - 4ярогаб (г) (Р0/4я), (12.22)
мы имеем
Fr (г) = 4ЯР(Г< {\~/о) Р° j гЮ (г) dr. (12.23)
Г
Графики этого потока, нормированные на 'Дпг2, показаны на рис. 12.3.
12.2. Диффузия и явления ближнего поля
В предыдущем разделе получена средняя интенсивность U(г)
точечного источника, расположенного в начале координат и излучающего
полную мощность Р0. Как видно из (12.21), она состоит из слагаемого,
связанного с вычетом Ures(г), и вклада от


250
Глава 12
разреза 13ы(г). В данном разделе мы рассмотрим физический смысл этих
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 92 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed