Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
равенствами
( - ajn (tax) h(U (tax') при т < х',
Rn (а, т, т') = { . Л. ч
, (12.37)
аjn (гат') (гат) при т > х',
где jn и АФ - сферические функции Бесселя и Ганкеля соответственно.
Прежде всего выполним интегрирование по 0' и ф'. Заметим, что dV'x
= x'2dx' smQ' d,W d-ф' и интегрирование по ф' исключает все т Ф 0.
Заметим также, что
л (
5 Рп (cos 0) Рп (cos 0') sin 0' dB' = i
0 при п Ф п', -ту при
" =
Учитывая это, получаем
1
IN(a, х, 0)==-2^Z bn ^ т) a"Pn (cos 0)>
rt=0
оо ,
M"> т) = J T'2 г/т'Яп (T, T') (-^pr) =
0
= - (^-) |^' (*aT) \ in (/ctT')e_t'+
°° 1 + /"(гат) ^ h^(iax')e~x'
dT'\.
(12.38)
254
Глава 12
Окончательно решение дается выражением
+ J в V, к V. Ч '"j | ",Л (cos в). (12.39)
Выражение (12.39) является точным, однако в случае узкого пучка
сходимость ряда оказывается медленной и нужно использовать какие-
либо другие методы. Принимая во внимание, что как т, так и т' в (12.34)
находятся вблизи оси (0 = 0), для аппроксимации в (12.35) воспользуемся
приближениями
/(0)~/(О)ехр(-0 =
ехр (- т) ^ ехр [- (т3 + т?/2т3)]
4лт2 4ят?
(12,40)
2
где б* равно ширине пучка по уровню половинной мощности, деленной
на 4 In 2. Аналогично можно аппроксимировать величину ехр(-а|т -
т'|)/4л|т- т'|, что упрощает интегрирование в (12.34).
12.5. Излучение при произвольном распределении
источников
Предположим, что источник е(г, s) в (12.1) излучает мощность
изотропно во всех направлениях, т. е. е(г, s) зависит
только от г. Пусть Р(г)-мощность, генерируемая в единице
объема в точке г. Тогда из (12.1) можно получить следующее
интегральное уравнение для средней интенсивности U(г):
U (г) = \ G0 (г - г') dV + ро, J Go (г - г') U (г') dV'. (12.41)
V V
Выполнив преобразование Фурье, получим
U (К) = Go (К) + pasGa (К) U (К),
откуда находим [см. (12.6)]
Go (К) Р(К) _ niv, Я (К) /,охо\
Изотропное рассеяние
255
Таким образом, решение U(г) выражается через функцию Грина G(r) как
U(r)= J G{T-T')^-dV'. (12.43)
Ло
Используя (12.31), получаем
U (г) = pa^PdM(lb г) + J g(t, Г0)/г (Р2, г)*]. (12.44)
где
Л (Р. Г)= \ еХР1я1г-^Т l} Ptj'dV>' Pi = PCTt"0. р2 = РOtt.
V
•Используя среднюю интенсивность на единицу сечения, выраженную
в оптических длинах, U (х) = ?/(r)/(pa*)2 и мощность
Ti
Рис. 12.5. Излучение диска радиуса а.
Тг
Р(х) == Р(г)/(рсг<)3, генерируемую в единице объема, также вы-
раженную в оптйческих длинах, формулу (12.44) можно запи-
сать через вектор оптической длины т = pew:
00
U (г) = PdIt (а, т) + J g (t, Wo) 11 (Л t) dt, (12.45)
1
где
I (a x)- С ехр(-а|т-т'|) P (r')
1' ' X)- ) 4я|т-т'| 4я aV*
vx
В качестве примера рассмотрим случай, когда источники рас-
положены на диске радиуса а (рис. 12.5). Ось диска совпадает
с осью z цилиндрической системы координат. Пусть Ра - мощ-
ность, излучаемая единицей поверхности диска, измеренной а
единицах оптической длины. Заметив, что
Р(т)<*Ух = Л,2яр,ф" (12.46)
256
Глава 12
получим
00
I, (а, Т) = Ц±- 5 /о (Яр,) /1 (Ята) ехр (- Z, + -^==-.
(12.47)
где Та = р<J<a, а координаты т равны (рт, Z,).
12.6. Изотропное рассеяние в конечном объеме и
проблема Милна
В предыдущих разделах мы рассматривали излучение в не-
ограниченной среде. Если же рассеивающий объем конечен, то можно
сначала рассмотреть излучение в неограниченной среде, используя
функцию Грина G(r), а затем ввести распределение воображаемых
источников на поверхности объема так, чтобы излучение этих
поверхностных источников вместе с излучением в неограниченной среде
удовлетворяло граничным условиям на поверхности ([11], разд. 2.5).
При другом подходе исходят из основного интегрального уравнения
(12.1). Проиллюстрируем этот подход на следующей задаче. Пусть среда
занимает полупространство г >¦ 0, а излучение порождается на
бесконечности при z->+oo. Требуется найти угловую зависимость
выходящего из среды при z = 0 излучения. Эта задача впервые изучалась
Милном [31] и обычно называется проблемой Милна.
Уравнение (12.1) для этой задачи принимает вид
U (г) = pa, J Go (г - г') U (г') dV', (12.48)
и
где V - полупространство z > 0. Замечая, что U(г) есть функция только
от z, мы можем проинтегрировать Go по х и у. Полагая далее |г - r'[ = R
и замечая, что dx' dy' = 2nRdR, получаем
, ? 0~patR
\dx' \dy'G,{r-r') = \ J =
- oo - oo | z - zf |
= ^?i(pa,|2-*'|), (12.49)
GO
• где Ei (y) = ^ (e~xy/x) dx - интегральная показательная функ-
i
ция.
Изотропное рассеяние
257
Используя (12.49) и оптическую длину т = рotz, из (12.48) находим
оо
?/(t) = -y-J El(\T-x'\)U{x,)dx'. (12.50)
о
Это уравнение называют уравнением Шварцшильда - Милна. Мы не
станем подробно останавливаться на этой проблеме, так как она детально
описана в литературе [31, 40] и, хотя и представляет значительный
исторический и теоретический интерес, является лишь частной
проблемой, практические приложения которой ограниченны. Следует
отметить, что точное решение этой проблемы можно разделить на две
