Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
чения ледников и других приповерхностных образований [51, 61, 151,
159].
4
Глава 12
Изотропное рассеяние
В предыдущей главе теория переноса излучения использова- ' лась
главным образом для решения таких задач, как определение законов
затенения, диффузного отражения и прохождения при облучении
плоскопараллельной среды плоской волной. Од- йако во многих
приложениях, относящихся к распространению оптических,
миллиметровых и акустических волн в атмосфере, океане и
биологических средах, необходимо рассматривать характеристики
распространения сферических волн и волновых пучков. При этом нужно
решать трехмерную задачу в более общей постановке. Она, конечно,
значительно сложнее задачи о падении плоской волны на
плоскопараллельную среду, и ее точное решение, по существу, еще не
найдено. В связи с этим возникает необходимость нахождения
приближенных решений. Два таких решения рассматриваются в этой и
следующей главах.
Первое решение может использоваться, когда размеры частиц много
меньше длины волны, а второе - в противоположном предельном
случае. В этих двух случаях математическое описание задачи
существенно упрощается, что позволяет относительно легко найти
полезные решения. Если размеры частиц много меньше длины волны, то
индикатриса рассеяния практически не зависит от угла рассеяния, за
исключением случая дипольного рассеяния электромагнитных волн. При
этом можно считать, что фазовая функция р( s, s) постоянна и равна
альбедо Wo = os/ot. Этот случай называют случаем изотропного
рассеяния [11, 30, 31, 40, 98, 105]. Общий случай, когда фазовая
функция р(s, s) непостоянна, называют случаем анизотропного
рассеяния. Для изотропного рассеяния можно получить некоторые
точные решения, выявляющие многие общие характерные черты
распространения волн, которые трудно выделить в более общем случае
анизотропного рассеяния. Кроме того, имеется возможность проверить
приближенные решения, полученные для анизотропного рассеяния,
сравнивая их с точными решениями для изотропного случая. Изотропное
рассеяние служит также хорошим приближением для многих
практических ситуаций, когда размеры частиц много меньше длины
волны.
С другой стороны, когда размеры частиц велики по сравнению с
длиной волны, рассеяние ограничивается областью малых
244
Глава 12
углов вблизи направления вперед и поэтому возникает возможность
упростить уравнение переноса, используя малоугловое приближение.
Этот вопрос будет рассмотрен в следующей главе.
12.1. Метод преобразования Фурье для
изотропного рассеяния
Для изотропного рассеяния фазовая функция р(s, s') постоянна и
интегральное уравнение (7.41) для средней интенсивности U (г)
принимает вид
U (г) = Uг, (г) + J Go (г - г') [PasU (г') + е (г', s)] dV', (12.1)
V
где G0(r) = [exp(-potr) ]/4лг2. Уравнение (12.1) применимо как к случаю
конечного объема V, так и к случаю неограниченной среды.
• Рассмотрим сначала случай точечного источника, расположенного в
точке г' и излучающего полную мощность Ро. Функция источника в этом
случае дается выражением [см. (7.35)]
е (г) = (Р0/4я) б (г - г'), (12.2)
и (12.1) принимает вид
t/(r)=(-^)Go(r) + pae^(r-rO?/(rW'. (12.3)
v
Обозначим через G(г) интенсивность U (г) в случае источника,
помещенного в начало координат и излучающего полную мощность Ро/4я
= 1. Тогда можно записать
G(r) = G0 (г) + рст5 § ^о(г - г') G (г') dV'. (12.4)
v
Входящая сюда функция G(г) представляет собой среднюю ин-
тенсивность излучения точечного источника из точки г = 0 и является
функцией Грина. Если функция G(г) найдена, то через нее можно
выразить решение для случая произвольной ослабленной падающей
интенсивности ?/"•(г). Поэтому в данном разделе мы подробно
остановимся на характеристиках G(г).
Если объем V не ограничен, то точное аналитическое выражение для
функции Грина G(г) можно получить с помощью преобразования Фурье
следующим образом. Возьмем фурье-образ от (12.4) Г
G (К) = J G (г) ехр (- /К • г) dV, G (г) = J G (К) ехр (/К • г) dK.
(12.5)
Изотропное рассеяние
245
Замечая, что фурье-образ от свертки есть произведение фурье- образов,
получаем
G{K) = G0(K) + p<reG0(K)G(K), (12.6)
откуда находим G(K)= G0(K)/[1 -pasG0(K)]. Заметим теперь, что,
поскольку Go (г) есть функция только от модуля г и не зависит от его
направления, Go(K) зависит только от модуля К и имеет вид
G;l (К) = G0(K)==\i dVG0 (г) ехр (- г'К • г) =
271 д оо
= ^ d<j> ^ sin 0 dO ^ г2 dr е-? ^ ехр (iKr cos 0) =
о о
-1
1 Г d\i 111 + / (Kfpot) 1 / К \
? J рot + iKii ~ ln 1 - i (K/pat) ~ ~К аГС ) •
(12.7)
Возьмем теперь обратное преобразование от (12.6). Это трехмерное
обратное преобразование Фурье можно упростить, заметив следующее,
Поскольку G(K) есть функция только от модуля К и не зависит от
направления К, мы имеем
J G (К) ехр (/К • r) dK =-т5-§ G (/() sin (Кг) К dK. (12.8)
Далее, так как G {К)-четная функция К, интегрирование в
(12.8) можно распространить на область (- оо, + <х>):
