Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Приближение для больших частиц
261
где Е - фурье-образ по р от e(z, р, s). Прежде всего упростим первый
член (13.10), полагая
Ix{z, х, s) = /2(z, х, s)exp{(/s • х - p"cr*)z}. (13.11)
Тогда (13.10) примет вид
оо
-^I2 (z, х, s)-Р-ф- ^p(s - s') ехр {-ix ¦ (s-s')z}/2(z, х, s')ds'-
- оо
- Е (z, х, s)exp {- is • х -f- p"cr() z} = 0. (13.12)
Далее, преобразуя по Фурье второй член, представляющий собой
интеграл типа свертки, получаем произведение двух функций. Используя
соотношения
оо
P(q)= ^ p(s)exp(/s • q)ds, (13.13а)
-
оо
оо
F(z, х, q)= ^ I2(z, х, s) ехр (is • q) ds, (13.136)
-
oo
oo
EQ(Z, x, q) = ^ E(z, x, s) exp (is • q) ds, (13.
13b)
- oo
находим
-feE{z, x, q) -P(4~ xz) F {z, x, q) -
- E0(z, x, q - xz) exp (p"cr*z) = 0. (13.14)
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка для F,
которое легко решить.
В отсутствие источников e(z, р, s) в среде имеем
F(z, х, q) = F{0, х, q) ехр
Z -
J^P(q-*/)d/ . (13.15)
о J
Окончательное решение /(z, р, s) получается из (13.96), (13.11) и (13.15):
I(z, р, s) = -^jrjd"exp{-ta-p + tfs-K -pnor)z}X
X \ dq ехр (- is ¦ q) F (z, x, q). (13.16)
262
Глава 13
При 2 = 0 /(г, р, s) должно, быть равно /0(р, s) из (13.6), так что
F0 (х, q) = F (0, х, q) == ^ /0 (р, s) ехр (Ы • р + is • q) dp ds.
(13.17)
Окончательное выражение можно записать в несколько более простой
форме, заменив переменную q на q' = q - иг и опустив затем штрих у q'.
Это дает
I (2, р, s) = \dx ^ dq ехр (- /х • р - is ¦ q) F0 (х, q + хг) X
XK(z, х, q), (13.18)
где
К {г, х, q) = ехр Г- ^ р"а, { 1 - ^ Р (q + х (2 - z')) } dz'
L о
Выражение (13.18) представляет собой общее решение уравнения
(13.5) в отсутствие источников е(г, р, s). При наличии источников
уравнение (13.15) нужно модифицировать так, чтобы удовлетворить
уравнению (13.14)
Интегралы, входящие в найденное решение, трудно оценить, и в
настоящее время в общем случае произвольной функции рассеяния р\s -
s') удобное выражение для I, по-видимому, otcvt- ствует. Однако
поучительно рассмотреть частный случай, когда функция рассеяния
аппроксимируется дельта-функцией для направления вперед:
р( s - 8') = 4яЦ70б(8 - s'), (13.19)
где Wo-альбедо отдельной частицы, а 4nWo выбрано так, что Wo = -
^\p(s-s')d">'~^\p(s-s') ds'. (13.20)
Подставляя (13.19) в (13.18), получаем
/ (2, р, s) = / (0, р - S2, s) ехр (- рпваг), (13.21)
где оа - сечение поглощения частицы. Отсюда видно, что лучевая
интенсивность распространяется без изменения направления s, испытывая
ослабление, определяемое сечением поглощения частицы.
Рассмотрим другой пример (разд. 15.2 и 15.3). Пусть падающая волна
- плоская:
/о (Р. 8) = /ов(8), (13.22)
так что (13.17) принимает вид
F0(q, х) =(2я)2/0б(х). (13.23)
Приближение для больших частиц
263
Фазовую функцию будем считать гауссовой:
Р (s) = 4apWо ехр (- aps2), (13.24)
где <хр пропорционально {D/%)2 (D - диаметр частицы, % - длина
волны). Используя (13.24), для К{г, и, q) в (13.18) получаем выражение
К {г, и, q) = ехр j - jjp"<Tf[l - Г0ехр (- dz' j. (13.25)
Если оптическая длина рnetz много больше единицы, то (13.25) можно
аппроксимировать выражением
К (Z, Л, q) = ехр | - ^p"Of[l - W0 + (13.26)
Подставляя (13.23) и (13.26) в (13.18), находим
I {z, р, s) = р °w/ ехр Г- pnaaz р т -1. (13.27)
v ' ^Pn°tzW0 L J
Заметим, что в этом приближении угловое распределение, часто
называемое угловым спектром, уширяется, и ширина пучка на уровне
половинной мощности растет как 21/2. Заметим также, что поток F(z, р)
дается выражением
F (г, Р) = ^ / (г, р, s) ds = /0 ехр (- p"aaz). (13.28)
Это показывает, что уширение углового спектра сопровождается
уменьшением амплитуды, причем ослабление полного потока просто
пропорционально сечению поглощения.
13.3. Приближенное решение для случая медленного углового
изменения диффузной интенсивности
Как показано в предыдущем разделе, несмотря на то, что общее
решение уравнения (13.5) известно и в отсутствие в среде источников
имеет вид (13.18), интеграл в (13.18) для произвольной фазовой функции
вычислить не удается. В некоторых практических ситуациях, таких, как
распространение оптических пучков в воде и атмосфере, ослабленная
падающая интенсивность сильно коллимированна, тогда как диффузная
интенсивность имеет широкий угловой спектр и медленно меняется при
изменении угла рассеяния. В этих условиях можно получить более
простое решение следующим способом [46, 53J.
264
Глава 13
Рассмотрим случай, когда в уравнении (13.5) источник е(2, р, s)
отсутствует. Запишем лучевую интенсивность в виде суммы ослабленной
падающей интенсивности Ui и диффузной интенсивности ld- Тогда имеем
Q
-folrtiz, Р, S)+ S • VtIrl{z, Р, s) = - pnotIri (z, P, s), (13.29)
-§^Id{z, P, s)+ s •VtId(z, p, s) = - 9notId{z, p, s) +
00
+ 5 5 P (s - s') Id (z, P, s') ds' + Qd (z, P, s), (13.30)
- 00
где
00
Qd (z, P, s) = J J p (s - s') Iri (z, q, s') ds'. (13.31)
- oo
Решение (13.29) легко получить в виде интеграла Фурье, если
