Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
(И-9)
11,3. Квадратурная формула Гаусса
Общее решение интегро-дифференциального уравнения (11.4),
выраженное через известные функции в замкнутом виде, не найдено.
Рассмотрим поэтому решение, основанное на приближенном
представлении интеграла в (11.4). Это представление называют
квадратурной формулой Гаусса [1]. Мы обсудим его кратко в данном
разделе, прежде чем приступить к решению уравнения (11.4).
^ 2Cj ЛГ2 Ь
Попытаемся представить интеграл от функции /(х) в виде ряда,
включающего значения f(xj) в конечном числе т точек х = Xj, j - 1, ..., т
(рис. 11.3):
где со(х)-весовая функция. Вопрос состоит в том, как выбрать точки Xj
и определить а/, чтобы получить наилучшую аппроксимацию интеграла
при наименьшем числе членов т. Этот вопрос
оо
PoiP, p')=I WnPn(ii)Pn(ц'),
(11.86)
х
Рис. 11.3. Приближенное предста-
вление интеграла (11.10).
ь
т
<
(11.10)
Плоскопараллельная задача
229
можно сформулировать математически, введя погрешность е:
Ь т
е = ^ f (х) со (х) dx- ^a,jf(Xj). (11,11)
а /=. 1
Покажем прежде всего, что если функция f(x) аппроксимируется
полиномом степени т- 1, то даже при произвольном выборе X/ можно
полностью устранить погрешность. Для этого выразим f(x) в следующем
виде, включающем произвольные Xj:
т
/(*) = ?/(*,) (, .
(П.12)
т
где F (х) = IT (х ~ х{) = (х - xi) (х - х2) ... (х - хт) и F' (х) = /"1
= dF(x)jdx. Заметим, что, поскольку F(x) есть полином степени т,
правая часть (11.12) есть полином степени т-1. Заметим также, что
F(x)/\(x - Xj)F'(xj)] становится равной единице при x-*Xj и обращается
в нуль при х-^х,¦ г ф у. Поэтому
(11.12) представляет f(x) в виде полинома степени т- 1, давая точные
значения f(Xj) при х - х/. Соотношение (11.12) называется
интерполяционной формулой Лагранжа. Подставляя
(11.12) в (11.10), получаем
aI = ^-\ FM*W..dx. (11.13)
1 F (х!) j (* - */) '
Эту величину называют числом Кристофеля, связанным с F(x)\ Ясно, что
если f(x) есть полином степени т- 1, то погрешность е тождественно
обращается в нуль; причем это верно при произвольном выборе Xj.
Если изменения функции f(x) таковы, что полином степени
т-1 недостаточен и для адекватного описания f(x) требуется
полином более высокой степени, то погрешность (11.11), вообще говоря,
отлична от нуля. Возникает вопрос, можно ли даже и в этом случае
устранить погрешность, выбрав точки х/ не произвольно, а некоторым
надлежащим образом? Это достигается с помощью описанной ниже
"квадратурной формулы". Такая формула дает значение интеграла от
функции, представленной, в виде полинома степени 2т- 1, согласно
(11.10), с нулевой погрешностью. Для получения этой формулы запишем
f(x) в виде следующего полинома степени 2т - 1:
т т-1
f м=Е f <*,) тг-^й.у+F <*> I с'х'- <1U4>
У-1 .. " ' /=о
230
Глава 11
где Ci - постоянные. Поскольку F(x) есть полином степени т, второе
слагаемое в (11.14) есть полином степени 2т-1. Вся- кую функцию,
представленную в виде полинома степени 2т - 1, можно записать в виде
(11.14), выбрав соответствующим образом постоянные Си Подставим
теперь (11.14) в левую часть
(11.10) . В результате, помимо ряда, стоящего в правой части
(11.10) и возникающего из первой суммы (11.14), мы получим также
дополнительный ряд, который возникает из второй суммы в (11.14). Если
соответствующим выбором х, дополнительный ряд окажется возможным
обратить в нуль, то тем самым мы достигнем цели, представив интеграл
от полинома степени 2т-1 в виде суммы т членов, как и в формуле
(11.10). Это можно сделать, выбрав */, а следовательно, F(x) так, что
ь
^ F (х) xca(xldx = 0 для 1 = 0, 1, ..., т-1. (11.15)
а .
Это .означает, что полином F(x) должен быть ортогонален х1 с весовой
функцией а>(х). Формула (11.10) с коэффициентами
(11.13) и полиномом F(x), удовлетворяющим условиям (11.15),
называется квадратурной формулой.
Для плоскопараллельной задачи имеем а(л:)=1, а =- 1, Ь = + 1. В
этом случае, учитывая, что полином Лежандра
Рт(х) ортогонален всем х1, / = 0,1, ... ,т - 1, можно
выбрать
F(x) = Pm(x), (11.16)
причем Xj должны быть нулями полинома Лежандра Рт(х). Таким
образом, можно записать
1 т
^ f(x)dx=Yjaif(xi)> (11-17)
-1 i-i
где
Рт (*/) Д (*"*/)
и х/ выбраны так, что Рт(х,) = 0. Это квадратурная формула Гаусса.
Для рассматриваемой плоскопараллельной задачи т удобно выбрать
четным: т = 2N. Используя р вместо х, запишем
1 N N
5 f(v)dn= ? a/f(H/) = ?a/[f(H/) + f(-H/)]> (11.18)
-1 i - N /-1
где
1 Г Рг,и (и)
Л>лг (l1/) "= ( I1/)" /*"1" 2, ..." N, aj = , ^ - - dp,
P2NKV-I)-i\V-~V-j)
Плоскопараллвльная задача
231
и мы использовали тот факт, что Рця есть четная функция р, a.j = а-/ и
р/ = -р_,-. Первые члены последовательностей р; и а/ имеют вид
N=1, p^-Jp -а, = 1,
N = 2, pi, = 0,3399, а, = 0,6521, (11Л9)
р2^= 0,8611, а> = 0,3479.
Значения для N ^ 3 приведены в книгах [1, 31].
11.4. Общее решение
Вернемся к плоскопараллельной задаче, заданной уравне-
ниями (11.4), (11.5а) и (11.56). Требуется решить уравнение
