Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично поток в отрицательном направлении ^-(т) дается выражением
о
F_ (т) = - 2п ^ / (т, ц) р dp =
-1
N N
= B~ae~x + ? С"В"-г V + ? С_пВ~_пе~^, (11.42)
Л-1 Л=1
где
N N
В0~ = ? """-Л- Bn.==:'EaiK-Pl'
i-1 i-1
N
i=i
Выражения (11.37) -(11.42) дают лучевую интенсивность и прямой и
обратный потоки в точке т. Из них легко вычислить отраженные и
прошедшие лучевые интенсивности и потоки при
236
Глава 11
х = 0 и х = хо. При х = О диффузная отраженная лучевая интенсивность
есть /(О, р) в (11.39) для р < 0, а отраженный поток F-(0) определяется
согласно (11.42). При х = то прошедшая лучевая интенсивность равна
/п(хо) + /Дхо, р), где Id определяется согласно (11.38), а поток дается
выражением (11.41).
Проиллюстрируем рассмотренную процедуру для простого случая
N=1 и изотропного рассеяния ро(р, р7) = 1Го- Для N = 1 формула Гаусса
имеет простой вид:
1
\ f (р) dp = / (pi) + / (- pi), р,=Д=-, (11.43)
-1
d
dx
~h (г)
+
_/_,(т)_
rO-4r).
_i
p
+ Г0
_ 2pi
W
o
2
-
1
Pi
¦Wn
2p
i
W
o
W0
Г
~ l_ _ ij 4JIP1
Частное решение (11.28) дается выражением
"ct!
F0e-
= =
причем
WQ
2p
t
- U-I -
a,
Го
_2pi
откуда находим
1 + Pt
1
- 1
Wo
4лр!
(11.44)
(11.45)
o>
a
1 - Г0 - Pi \ -Ml / l - и- о ¦
Для получения решения соответствующего однородного уравне-
ния вычислим сначала собственное значение %п из (11.32):
-Гр
рЛ 2 )• 2р,
2pi Pi V 2 .
Из этого уравнения получаем A,i = - А-ь
Кх = л/\ - /ш = - ^-i*
Собственные векторы даются выражениями
ОД"
a_i =
1 - pi
1 - Г"
Pi
= о.
(11.46)
Плоскопараллельная задача
237
для которых соотношения симметрии (11.33) очевидны. Таким образом,
полное решение (11.35) имеет вид
1й 1 (т) = ще~х + CieXlt +.C_i Ье~к'х,
h~\ М = а_1е-'с + Сфе%'х + С_хе
(П.47)
где Ci и С-i - неизвестные постоянные. Используем теперь гра-
ничные условия (11.36):
1<1\ (0) = ct! + С] + С_ф = 0,
Id-\ Ы = + Сф ехр (A,iT0) + C_i ехр (- = 0, (11.48)
из которых легко определить С\ и C_i:
- aj ехр (- XJTQ) + 6а_! ехр (- т0)
С,=
С_,
1 ехр (-XiT0) - 62ехр
(XiT0)
- а_, ехр (- т0) + Ьах ехр (Я,т0)
(11.49)
ехр (- А1т0) - Ь2 ехр (AiT0)
Таким образом, для р > 0 получаем
/ (т, р) = /"¦ (т, р) + ld (т, р), iri (т, р) = F$~xb (р - 1) б (<j>),
(11.50)
Г" Г a, + а_, + FJIn Id (т, ц) = - [ firji
(е~х - е~хМ) +
с, (1 + 6) с , (1 + 6) , т
+ -т+х^г(eMt -+ ¦ rLx.iT- ^ -e_^)Jv II1*51)
а для р С 0 имеем
wo f a,+a_,+F0/2jt f (4~x \\ ,
/(x,p) = -|^ [e ^exp^- t0JJ +
+ С1' + я,в) [expM ~ exp + ^lT°)] +
+ -yzr^T' [*xp ("^o) " exp (~V~~ - ^o)]• (11 -52)
Заметим, что члены, содержащие Fo в первых слагаемых в (11.51) и
(11.52), дают решение первого порядка, рассмотренное в гл. 8
[выражения (8.8) и (8.9), где нужно положить р0 = 1)], а остальные
члены описывают эффекты многократного рассеяния.
Этот пример иллюстрирует методику, описанную в данном разделе,
однако полученные при этом численные значения нужно рассматривать
как очень приближенные, поскольку формула Гаусса (11.43) дает очень
грубую аппроксимацию. Фактически
238
Глава 11
известно, что Я-i должно быть меньше единицы, если N достаточно
велико. Поэтому очевидно, что полученные формулы нельзя использовать
при Wo > 2/з> так цдк при этом A,i > 1.
11.5. Полубесконечная среда
Задачу о нормальном падении плоской волны на полубеско- нечную
среду можно решить, полагая просто т0 -> оо в результатах
предыдущего раздела. При другом подходе можно использовать
граничное условие при т->°о, когда должна быть только уходящая волна.
Это означает, что в общем выражении для Iс (11.34) решение с ехр(Х"т)
недопустимо, поскольку оно неограниченно возрастает при т-"-оо. Таким
образом, все Сп, п = 1, 2, ..., N, должны быть равны нулю, и 1с должно
иметь
ВИД N
I (11.53)
п-i
Входящие сюда N постоянных С_" определяются из N условий (11.36а)
при т = 0.
Рассмотрим теперь задачу об излучении полубесконечной среды,
занимающей область т < 0. Решение этой задачи называют законом
затенения. В этом случае падающая волна порождается при т-"- оо. Если
рассмотреть все собственные значения Хп, то можно замети-", что для
больших N только одно из них, Х\, меньше единицы, а все другие больше
единицы. Поэтому все члены ехр(-т) и ехр(-Хпт), кроме ехр(-Xit),
при больших т обращаются в нуль, так что решение дается выражением
I = + ? CJVV. (11.54)
П=1
Входящие сюда N + 1 постоянные C_i и Сп определяются из N граничных
условий при т = 0:
МО, Ц|) = 0, /=-1,-2 -N, (11.55)
и условия, что полный поток F0 при т = 0 считается известным.
11.6. Наклонное падение и другие методы
Если исходная волна падает на среду наклонно в направлении (ро,
^о), то лучевая интенсивность /(г, s) есть функция т, р и ф; поэтому ее
можно разложить в ряд Фурье
м
1 (т, Р, ф) = ? 1т (т, р) cos т(ф - Фо). (11.56)
т-0
Плоскопараллельная задача
