Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Том 1 - Исимару А.
Скачать (прямая ссылка):
слагаемых.
Слагаемое Gres(г), связанное с вычетом, дается выражением
(12.17) . Поскольку ао всегда меньше единицы и Gres(г) содержит
множитель l/г, этот член спадает медленнее, чем ослабленная
интенсивность, которая изменяется как (1/г2)ехр(-рщг). Если
поглощение мало (Wo близко к единице), то параметр ао близок к нулю и
Gres спадает очень медленно. Поведение Gres тождественно
диффузионному процессу, и Gres удовлетворяет диффузионному
уравнению
[V2 - (Р<х,а0)2] Gres (г) = - patPd6 (г). (12.24)
Это уравнение можно сравнить с уравнением диффузии (9.16) при е(г) =
6(г):
(V2 - К\) иd (г) = - 3p<rt (1 - р,) б (г), (12.25)
где K2d - 3patpa0(l - Pj). Можно показать, что с уменьшением
поглощения (№0->-1) величины (рщао)2 и ^ в (12.24) приближаются
соответственно к 3patpaa/U70 и 3/U72. Эти величины отличаются от
соответствующих постоянных в (12.25) при pi = 0 (изотропное рассеяние)
на Н70 и W2V
Чтобы показать это, заметим, что при Wo 1 ао 0, поэтому
(12.13) можно разложить в ряд:
+•§""+ •••)• <12'26)
откуда при Wo ->¦ 1 получаем Pd - ZjW\ и
ao-V3 (-^f- (12-27)
В общем случае, если частицы в основном рассеивают
(Ц70->-1), то на больших расстояниях, когда оптическая длина
больше единицы, слагаемое от вычета больше слагаемого, обус-
ловленного разрезом. Вблизи источника (когда оптическая длина меньше
единицы) нужно учитывать оба слагаемых в полной интенсивности.
Таким образом, диффузионный процесс оказывается доминирующим при
оптических длинах, превышающих единицу.
С другой стороны, если частицы в основном поглощают (№о < 1), то
при оптических длинах больше единицы вклад от вычета много меньше
вклада от разреза, причем вклад от разреза приближается к (1/г2)ехр(-
рсг*г).
Изотропное рассеяние
251
12.3. Излучение при произвольной падающей интенсивности
Используя функцию G(г) для излучения точечного изотропного
источника, можно описать излучение в неограниченной среде при
произвольной падающей интенсивности. Рассмотрим (12.1) при е == 0:
U (г) = Url (г) + роу ^ G0 (г - г') U (г') dV'. (12.28)
V
Взяв фурье-образ от этого интегрального уравнения, получим
UW = -i-U$lw ¦ <12-29>
Обратное преобразование Фурье этого выражения дает решение задачи. С
другой стороны, можно записать
и (К) = иг, (К) + рРдТ-%(о0\ад Un (К)=uri (К) + posG (К) иг1 (К)
и, проведя обратное преобразование Фурье, получить
U (г) = Uri (г) + pcrs ^ G (г - г') Url (г') dV', (12.30)
v
где G(г) описывает излучение точечного источника в неограниченной
среде, как это было показано в предыдущем разделе. Первый член в
(12.30) дает ослабленную интенсивность, второй - диффузную
интенсивность.
Выражение (12.30) можно еще упростить, заметив, что G(r)i имеет
вид (12.21). Запишем это выражение в форме
оо
G (г) = рatPd Gd (ftr) + pa, J g (t, W0) Gd (p2, r) dt, (12.31)
1
где Gd(P, r\ - e-Prl4nr, Pi = pota0 и p2 = pad-
Используя теперь интеграл
/(P. r)= S CXPto|r-^rU UrtWdV', (12.32)
V
запишем решение в виде
252
Глава 12
Здесь второй член соответствует диффузии, а последний - вкладу от
разреза. Интеграл в (12.33) иногда бывает удобно выразить через
оптическую длину, а не через обычную длину. Так, обозначая через т
вектор оптической длины т = pcrtr, получаем
U (т) = Url (х) + Г0 j PdIN (ао, т) + J g (/, Г0) IN (i, х) ri/j , (12.34)
где
h (а, т) = JVn (t') dV'x>
vx
dV'x - dx[dx'2dx2, xl = potx, x2 = paty, т3 = р atz.
Заметим, что задача о нахождении излучения при произвольной
ослабленной падающей интенсивности t/ri(г') в неограниченной среде
теперь сводится к вычислению интеграла /((3,г) или 1лг(а, г), которые
выражаются через е~ах/4т.
12.4. Излучение в случае направленной сферической
падающей волны
Сферическая волна, ограниченная определенным телесным углом,
представляет большой практический интерес, поскольку миллиметровые,
оптические и акустические волны часто направ-
-Ш т,9)
r<te
л!
Излучатель /(в)
Рис. 12.4. Средняя интенсивность U (т, 0) для направленной сферической волны с
угловой зависимостью / (0).
ляются большими отражателями, линзами и преобразователями и
распространяются в пределах малого конуса (рис. 12.4). Рассмотрим
ослабленную падающую интенсивность
Uri(x) = (e-%/4nx2)f(Q, ф), (12.35)
где х = рщг - радиальная оптическая длина, а /(0, ф) описывает угловую
зависимость. Для иллюстрации методики без излишних усложнений
будем считать функцию / не зависящей от
*:f(e,*) = f(0).
Вычислим теперь величину Д(а), определяемую выражением (12.34).
Для этого разложим Ufi(r) и (4я|т - T'D^X
Изотропное рассеяние
253
X ехр(-а|т - т'|) по сферическим гармоникам, используя свойство
ортогональности последних:
-г'
Uri (0 = 4^Z anpn(cos 0'),
/г-0
оо оо
ехр (- а | т - т' |) 1 у /о" I п (/г -
от)!
4я|т_т'| - 4я La La К ^ 1 (п + т)\ А
т==-оо п~т
X Рп (cos 0) Рп (cos 0') Яп (а, Т, т') ехр [тг (•/> - ф')\, (12.36)
где х и х' - векторы, направленные от начала координат к точкам (т, 0,
ф) и (т', 0', ф') в сферических координатах. Функция Rn дается
